Yakınsama Analizi – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri
Yakınsama Analizi
En basit durumlar değişkenlerin ayrılmasıyla çözülebilir, ancak genel olarak kapalı form çözümleri yoktur. Bu nedenle, çeşitli yaklaşım yöntemlerini dikkate almak zorunda kalır. Bu bölümde en basit sayısal yöntem olan Euler sonlu farklar yöntemini inceleyeceğiz. Uygun varsayımlar altında, bu tür bir yaklaşımla yapılan hatanın, adım boyutunun sabit bir çarpımı ile sınırlandığını göreceğiz.
Uygulanan Alan
Yine bir fincan kahve gibi iyi karıştırılmış bir sıvıyı düşünün. Sıcaklığın uzaya göre düzgün olduğunu, ancak sıcaklığın zamana göre değişebileceğini varsayalım. Sıcaklıkla ilgili bazı ilk gözlemler göz önüne alındığında, sıcaklığı zamanın bir fonksiyonu olarak tahmin etmek istiyoruz.
Model
Sürekli bir model, Newton’un soğutma yasasıdır, sıcaklığın değişim hızı, ortam sıcaklığındaki ve sıvının sıcaklığındaki farkla orantılıdır. c = 0 ise, mükemmel bir yalıtım vardır ve sıvının sıcaklığı başlangıç değerinde kalmalıdır.
Büyük c için sıvının sıcaklığı hızla çevre sıcaklığına yaklaşacaktır. Bu diferansiyel denklemin kapalı formdaki çözümü, değişkenlerin ayrılması yöntemiyle bulunabilir ve usur için bir sabite eşittir.
Eğer c verilmezse, u(t1) = u1 gibi ikinci bir gözlemden bulunabilir. Eğer usur t’nin bir fonksiyonu ise, integrasyon adımları çok karmaşık değilse, yine de kapalı bir form çözümü bulunabilir.
Yöntem
Euler’in yöntemi, ut’un sonlu farkla yaklaşıklaştırılmasını içerir. h = T/K ve K şimdi zaman adımlarının sayısı olduğunda, uk u(kh)’nin bir yaklaşımıdır ve f (kh,uk)’de değerlendirilir. T sonlu değilse, h sabit olacaktır ve k tüm pozitif tamsayılar arasında değişebilir. Diferansiyel denklem (1.6.1) herhangi biri ile değiştirilebilir.
(1.6.4)’deki seçim en basitidir çünkü her zaman adımında muhtemelen doğrusal olmayan bir problemin çözümünü gerektirmez. (1.6.4) ile verilen şemaya Euler yöntemi denir ve (1.6.2)’deki diferansiyel denklemin ayrık bir modelidir. f (t, u) = c(usur − u) olan sürekli Newton’un soğutma diferansiyel denklemi için Euler’in yöntemi, ayrık Newton’un soğuma yasası için birinci mertebeden sonlu farklar yöntemiyle aynıdır.
Denklem (1.6.5), kh zamanındaki sıcaklığın ilk tahminini verir ve daha sonra zaman türevinin bir ortalamasının hesaplandığı denklem (1.6.6)’da kullanılır. Buna gelişmiş denir, çünkü Euler yöntemindeki hatalar genellikle sabit çarpı zaman adımı ile sınırlandırılırken, geliştirilmiş Euler yöntemindeki hatalar genellikle sabit çarpı zaman adımının karesi ile sınırlandırılır.
Yakınsama Nedir
Büyük ıraksama nedir
Koşulsuz yakınsama nedir
Uygulama
MATLAB, zaman adımı azaldıkça, ayrık modellerden çözümün sürekli modele çözüme yaklaştığını göstermek için kolayca kullanılabilir. Bu, hem grafik hem de tablo biçiminde tasvir edilmiştir. MATLAB kodu eulerr.m’de zaman adımlarının sayısı ve sabit son zamanla deney yapıyoruz.
Kesin çözümün bilinmesi için Newton’un sabit bir çevre sıcaklığı için soğutma yasası dikkate alınır. Kesin çözüm, hem Euler hem de geliştirilmiş Euler yaklaşım çözümleri ile de karşılaştırılır.
MATLAB kodunda eulerr.m satırları 3-13 giriş verilerini içerir. Tam çözüm, Euler yaklaşık çözümü ve geliştirilmiş Euler yaklaşık çözümü için diziler sırasıyla uexact, ueul ve uieul’dür ve bunlar 14-25 satırlarında zaman döngüsünde hesaplanır. Çıktı, hataların son anda verildiği 26-29. satırlarda da verilmiştir.
maxk = 5,10,20 ve 40 kez adımlar için ueul dizilerinde verilen Euler yönteminin çizimlerini içerir. maxk = 5 eğrisi, salınımlar nedeniyle gerçekçi değildir, ancak çevre sıcaklığına yaklaşır. Zaman içindeki tüm noktalar için diğer üç grafik kesin çözüme doğru artar.
Hatayı incelemenin başka bir yolu da bir zaman belirlemek ve Euler yöntemleriyle verilen tam sıcaklık ve yaklaşık sıcaklıklar arasındaki farkı dikkate almaktır. Tablo 1.6.1 bunu 10’a eşit süre için de yapar.
Euler hataları, zaman adımlarının sayısı iki katına çıktığında yarıya indirilir, yani Euler hataları, zaman adımı boyutunun sabit bir katı ile sınırlandırılır. İyileştirilmiş Euler hataları, zaman adımlarının sayısı iki katına çıkarıldığında bir çeyrekte kesilir, yani, geliştirilmiş Euler hataları, zaman adımı boyutunun karesinin sabit katı ile d esınırlandırılır.
Değerlendirme
Ayrıklaştırma hatasının bir açıklamasını vermek için Ortalama Değer teoremini ve bir uzantısını gözden geçirmeliyiz. Ortalama Değer teoremi, ara değer teoremi gibi, kendisiyle ilişkili resim çizildiğinde açıkça doğru görünmektedir. Resmi çizmek bazı varsayımlarda bulunur. Örneğin, f(x) = 1 − |x| ile verilen fonksiyonu düşünün.
(1.6.14) için örnek. (1.6.14’ün c = dec = .1, a = vel = .1, ile sayısal çözümünü üreten akış1derr.m ve denklemlere (1.4.2-1.4.4) bakın) MATLAB kodunu düşünün. f = 0, u(0,t) = günah(2π(0−vel t)) ve u(x, 0) = günah(2πx). t = 0 ila t = T = 20 zaman aralığında ve x = L = 1’de u(x, t) = e−dec t sin(2π(x − vel t)) tam çözümüyle karşılaştırılır. Tablo 1.6.2’deki hatanın ∆t + ∆x ile orantılı olduğuna dikkat edin.
(1.6.15) için örnek. (1.6.15)’in sayısal çözümünü k = 1/π2, c = 0, f = 0 ile hesaplayan MATLAB kodu heat.m’yi düşünün (heaterr.m ve (1.2.1)-1.2.3 denklemlerine bakın) , u(0,t) = 0, u(1,t) = 0 ve u(x,0) = günah(πx). (x,t) = (1/2,1) noktasında u(x,t) = e−tsin(πx) tam çözümü ile karşılaştırılır. Burada Tablo 1.6.3’teki hata ∆t + ∆x2 ile orantılıdır.
Egzersizler
1. Hesaplamaları çoğaltın ve maxk = 80 olduğunda grafiksel çözümü bulun.
2. Hesaplamaları doğrulayın ve maxk = 80 olduğunda hatayı bulun.
3. Çevre sıcaklığının başlangıçta 70 olduğunu ve her on dakikada bir derecelik sabit bir oranda arttığını varsayın.
(a). (1.6.2)’deki sürekli modeli değiştirin ve MATLAB komutu desolve ile çözümünü bulun.
(b). (1.6.4)’de ayrık modeli değiştirin.
4. Problem 3’te zamana bağlı çevre sıcaklığını göz önünde bulundurun.
(a). Değişen ortam sıcaklığını hesaba katmak için MATLAB kodunu eulerr.m değiştirin.
(b). maxk = 5, 10, 20, 40 ve 80 ile farklı sayıda zaman adımıyla deney yapın.
5. Teorem 1.6.3’ün ispatında (1.6.11) ve |bk+1| ≤ M.
6. Teorem 1.6.3’ün ispatında (1.6.12) ve (1.6.13)’ü doğrulayın.
7. Teorem 1.6.3’ü çevre sıcaklığının zamana bağlı olduğu durumu hesaba katmak için değiştirin, usur = usur(t). Ayrıklaştırma hatasının adım boyutunun sabit katı ile sınırlandırılması için usur(t)’ye hangi varsayımlar yerleştirilmelidir?
8. Hesaplamaları doğrulayın. Hata için zaman-uzay döngülerinin içine ek bir satır ekleyerek flow1d.m’yi değiştirin.
Büyük ıraksama nedir Koşulsuz yakınsama nedir Yakınsama Nedir