Modelleme Süreci – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri
Modelleme Süreci
Kütleden ısıyı çevreleyen daha soğuk bir bölgeye aktararak soğutulması gereken sıcak bir kütleyi düşünün. Örnekler arasında bilgisayar çipleri, elektrik amplifikatörleri, bir güç hattındaki bir transformatör veya bir benzinli motor sayılabilir. Bunu yapmanın bir yolu, ısıyı ileten yüzey alanı daha büyük olacak şekilde bu kütleye soğutma kanatçıkları takmaktır. Belirli bir konfigürasyonun kütleyi yeterince soğutup soğutmayacağını belirleyebilmek için ısı akışını modelleyebilmeyi istiyoruz.
Modelleme sürecine başlamak için modeli basitleştirecek bazı varsayımlar yapacağız. Daha sonra bu modele geri döneceğiz ve bu varsayımlardan bazılarını yeniden ele alacağız. İlk olarak, zamana bağımlılığın olmadığını varsayın ve sıcaklığa yalnızca soğutulacak kütleye olan uzaklığın bir fonksiyonu ile yaklaşılır. Bu nedenle, sadece bir yönde difüzyon vardır. Bu, x’in sıcak kütleye dik yön olduğu yerde gösterilmiştir.
İkinci olarak, kanat yüzeyinden kaybedilen ısının, yan yüzeyin bir dilimi için Newton’un soğutma yasasına benzer olduğunu varsayalım. Burada usur çevre sıcaklığıdır ve c, kanat yüzeyinin ısıyı çevreleyen bölgeye iletme yeteneğini yansıtır. c sıfıra yakınsa, çok az ısı kaybı olur. c büyükse, yan yüzeyden daha büyük miktarda ısı kaybedilir.
Kanat ucunun yakınındaki hacim elemanının, iç elemanların hacminin yarısı olduğuna dikkat edin. Bunlar yalnızca yaklaşık değerlerdir çünkü sıcaklık boşlukla sürekli değişir. (2.3.1) ve (2.3.2)’deki bu yaklaşımları daha doğru yapmak için h ∆t TW’ye bölüyoruz ve h’yi sıfıra bırakıyoruz.
(2.3.6)’daki sınır koşuluna genellikle türev veya akı veya Robin sınır koşulu denir. c = 0 ise, o zaman sağ sınırdan ısı geçmesine izin verilmez ve bu tür sınır koşuluna genellikle Neu denir. – mann sınır koşulu.
c sonsuza yaklaşırsa ve türev sınırlı kalırsa, o zaman (2.3.6) usur = u(L) anlamına gelir. Fonksiyonun değeri sınırda verildiğinde buna genellikle Dirichlet sınır koşulu denir.
Model
Yukarıdaki türetme yararlıdır çünkü (2.3.1) ve (2.3.2) sürekli modeli ayrıklaştırmanın bir yolunu önerir. ui, h = L/n olmak üzere u(ih)’nin bir yaklaşımı olsun. ux(ih + h/2) türevini (ui+1 − ui)/h ile yaklaşıklaştırın. Daha sonra denklemler (2.3.2) ve (2.3.3) sürekli model (2.3.4)-(2.3.6)’nın ayrık bir modeli olan sonlu fark yaklaşımını verir.
Ayrık sistem (2.3.7) ve (2.3.8) matris şeklinde yazılabilir. Notasyonu kolaylaştırmak için n = 4’ü, (2.3.7) h ile ve (2.3.8) ile 2h, B ≡ 2K + h2C’yi çarpalım, böylece 4 denklem ve 4 bilinmeyen olsun. Bunun matris formu AU = F’dir, burada A genel olarak n×n matristir ve U ve F ×1 sütun vektörleridir.
Yöntem
Çözüm, ya üç köşegen (Thomas) algoritması kullanılarak ya da bilgisayar yazılımınızla birlikte sağlanan bir çözücü kullanılarak elde edilebilir. A’nın bir n × n matris olduğu ve x ve d’nin n×1 sütun vektörleri olduğu Ax = d üç köşegen sistemini ele alalım. A matrisinin belirtildiği gibi bileşenlere sahip olduğunu varsayıyoruz.
Matematiksel modelleme süreci
Modelleme prensibi nedir
Modelleme Nedir
Matematikte modelleme
Matematiksel modelleme çeşitleri
Matematiksel modelleme özellikleri
Matematiksel MODELLEME örneği
Matematiksel MODELLEME nedir
Önceki bölümlerde Gauss eleme algoritmasını kullandık ve matrisin A = LU olmak üzere iki matriste çarpanlarına ayrılabileceğini not ettik. A’nın üç köşegen olduğunu, böylece L’nin yalnızca köşegen ve alt köşegenlerinde sıfır olmayan bileşenlere sahip olduğunu ve U’nun yalnızca köşegen ve üst köşegenlerinde sıfır olmayan bileşenlere sahip olduğunu varsayın.
Uygulama
Bu bölümde, (2.3.7) ve (2.3.8)’deki sonlu fark denklemlerini çözmek için bir MATLAB kullanıcı tanımlı trid.m fonksiyonu ve tridiagonal algoritma kullanıyoruz. trid(n,a,b,c,d) işlevi n girdisine ve a,b,c sütun vektörlerine sahiptir. Çıktı, üç köşeli cebirsel sistemin çözümüdür. MATLAB kodunda fin1d.m satırları 7-20, soğutma kanadı için temel verileri girin. 24-34. satırlar trid.m için değişken listesindeki sütun vektörlerini tanımlar.
Çıktı bir tablo olarak verilebilir. Ayrıca, ısı dengesi satır 46-54’te hesaplanır. Esasen, bu, sıcak kütleden giren ısının, kanadın yan ve uç bölgelerinden kaybolan ısıya eşit olup olmadığını kontrol eder. Bununla ilgili daha fazla ayrıntı daha sonra verilecektir. trid.m fonksiyon kod satırlarında 8-12, LU faktörlerinin hesaplandığı ve Ly = d çözümünün yapıldığı ileri taramayı yapın. 13-16. satırlar Ux = y’yi çözmek için geriye doğru tarama yapar.
Sıcaklık-boşluk grafikleri (2.3.4) ve (2.3.6)’da c = csur değişkeni için verilmiştir. Daha büyük c için, çözüm veya sıcaklık çevre sıcaklığına, 70’e daha yakın olmalıdır. Ayrıca, daha büyük c için sol sınırdaki türev çok büyüktür ve bu, Fourier ısı yasası aracılığıyla, büyük miktarda ısının aktığını gösterir. sıcak kütleden yüzgecin sağ tarafına. Kanata soldan giren ısı, yan taraflar ve sağ uçtan kanattan çıkan ısıya eşit olmalıdır; buna ısı dengesi denir.
Değerlendirme
Kanat modelinin türetilmesinde birkaç varsayımda bulunduk. Kanat kalınlığı T çok büyükse, dikey koordinatla değişen bir sıcaklık olacaktır. W parametresinin büyük olduğu varsayılarak, kanat sıcaklığı üzerindeki herhangi bir son etki ihmal edilebilir. Sıcaklık geniş bir aralıkta değişirse başka bir problem ortaya çıkar, bu durumda termal iletkenlik K sıcaklığa bağlı olacaktır. Bu sorunlara geri döneceğiz.
Sürekli model üzerinde anlaşmaya varıldıktan ve sonlu fark yaklaşımı oluşturulduktan sonra, uygun bir ağ boyutu hakkında endişe duyulmalıdır. Burada, önceki bölümdekiyle hemen hemen aynı bir analiz verilebilir. Daha karmaşık problemlerde, sayısal çözümlerde çok az değişiklik gözlemlenene kadar azalan ağ boyutları ile birkaç hesaplama yapılır.
Ağ boyutu ve modelin doğruluğu için başka bir test, hesaplamalara dayalı olarak ısı dengesini hesaplamaktır. Isı dengesi basitçe, sıcak kütleden giren ısının kanatçıktan çıkan ısıya eşit olması gerektiğini belirtir. Bunun için kararlı durum sürekli modeli (2.3.4)-(2.3.6)’ya dayalı bir formül türetilebilir. (2.3.4)’ün her iki tarafını da entegre edin.
MATLAB kodunda fin1d.m 46-54 satırları (2.3.9)’un her iki tarafını yaklaşıklar, burada integrasyon yamuk kuralı ile yapılır ve her iki taraf da kesit alanı, TW ile çarpılır. Bu iki hesaplamadaki büyük bir fark, önemli sayısal hataları gösterir.
n = 40 ve daha küçük c = .0001, fark küçüktü ve 0,0023’e eşitti. n = 40 ve büyük c = .1 için fark, kanattan yaklaşık ısı kaybının yaklaşık %50’si kadardı! Ancak, daha büyük n bu farkı önemli ölçüde azaltır, örneğin n = 320 ve büyük c = .1 olduğunda, o zaman heat_enter = 3.7709, heat_out = 4.0550
Üçgen algoritma her zaman uygulanabilir değildir. αi sıfır veya sıfıra yakınsa zorluklar ortaya çıkacaktır. Aşağıdaki teorem, üç köşegen algoritmanın çok iyi çalışması için üç köşegen matrisin bileşenleri üzerinde koşullar verir.
Egzersizler
1. 3×1 −x2 = 1, −x1 +4×2 −x3 = 2 ve −x2 + 2×3 = 3 için tridiyagonal algoritmayı elle yapın.
2. Üç köşegen algoritmanın aşağıdaki x1−x2 =1,−x1+2×2−x3 =1ve−x2+x3=1 problemi için başarısız olduğunu gösterin.
3. Üçgen algoritmanın türetilmesinde bazı döngüleri birleştirdik. Bunu gerekçelendirin.
4. fin1d.m kodunu kullanın ve Şekil 2.3.2’deki hesaplamaları doğrulayın. Farklı T = .05, .10, .15 ve .20 değerleriyle deney yapın. Sonuçlarınızı açıklayın ve modelin doğruluğunu değerlendirin.
5. Fin probleminin tam çözümünü bulun ve n = 10, 20, 40 ve 80’i kullanarak farklı ağ boyutlarıyla deney yapın. Ayrık çözümün sürekli çözüme yakınsamasını gözlemleyin. Isı dengesi hesaplamalarını inceleyin.
6. Yukarıdaki modeli değiştirin ve T = .2(1−x)+ .1x olan bir konik kanatçık için kodlayın.
7. Sabit durum eksenel simetrik ısı iletimi problemini düşünün 0 = rf + (Krur)r, u(r0) = verilen ve u(R0) = verilen. 0 < r0 < R0 varsayalım. Ayrık bir model ve ortaya çıkan cebirsel problemlerin çözümünü bulun.
Matematiksel modelleme çeşitleri Matematiksel MODELLEME nedir Matematiksel MODELLEME örneği Matematiksel modelleme özellikleri Matematiksel modelleme süreci Matematikte modelleme Modelleme Nedir Modelleme prensibi nedir