Matris Diferansiyel Denklemler – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri
Matris Diferansiyel Denklemler
Birçok önemli fiziksel süreç, diferansiyel denklemler tarafından yönetilir. Tipik durumlar, katı ve esnek cisimlerin dinamiklerini, ısı iletimini ve elektrik akımı akışını içerir. Bilinen başlangıç koşullarına tabi bir diferansiyel denklem sistemini çözmek, ilgili fiziksel sistemin gelecekteki davranışını tahmin etmemizi sağlar.
Çok az sayıda önemli diferansiyel denklem kapalı biçimde çözülebildiğinden, doğrudan veya dolaylı olarak seri açılım yöntemlerine dayanan yaklaşımlar geliştirilmiştir. Ele alınan temel problem, Y (t) bilindiğinde Y (t + h)’nin, t zamanından (t + h) zamanına kadar sistem davranışını yöneten bir diferansiyel denklemle birlikte doğru olarak hesaplanmasıdır.
Doğruluğu ve kararlılığı korumak için adım boyutunun olası ayarlanmasıyla birlikte tatmin edici bir sayısal yaklaşım prosedürünün yinelemeli uygulaması, başlangıç zamanından sonra sistem yanıtının yaklaşık olarak tahmin edilmesini sağlar.
Diferansiyel denklemleri çözmek için sayısal yöntemler, mühendislik sistemlerini analiz etmek için önemli araçlardır. Yaklaşık çözümlerin oluşturulmasını kolaylaştıran değerli algoritmalar geliştirilmiş olsa da, mevcut tüm yöntemler, temeldeki yaklaşım süreçlerinde bulunan sınırlamalara karşı savunmasızdır.
Zorluğun özü, sonlu bir integrasyon adım büyüklüğü kullanıldığı sürece, her zaman adımında integrasyon hatasının meydana gelmesi gerçeğinde yatmaktadır. Bu hataların bazen katlanarak büyüyen ve sonunda çözüm geçerliliğini yok eden birikimli bir etkisi vardır.
Bir dereceye kadar doğruluk sorunları, yerel hatayı istenen bir tolerans içinde tutmak için adım boyutunu düzenleyerek sınırlandırılabilir. Tipik olarak, bir entegrasyon toleransını azaltmak, sayısal bir çözümün geçerli olduğu zaman aralığını arttırır. Bununla birlikte, büyük ve karmaşık sistemleri analiz etmek için süper bilgisayar zamanının yüksek maliyetleri, bazen pratikte haklı olduğundan daha pahalı olabilecek uzun zaman geçmişlerinin oluşturulmasını engeller.
MATLAB’da Sağlanan Runge-Kutta Yöntemleri
Diferansiyel denklemleri çözmek için bir yöntemin formülasyonu bu bölümde tartışılmaktadır. Bir y(x) fonksiyonunun, y(x0) = y0’a tabi y ′(x) = f(x,y) biçiminde bir diferansiyel denklemi sağladığını varsayalım, burada f bilinen bir türevlenebilir fonksiyondur. Belirli bir hata mertebesine kadar bir Taylor serisi açılımıyla uyumlu olan bir y(x0 + h) yaklaşımı hesaplamak istiyoruz.
Burada f0 = f(x0,y0). Son formül, fx ve fy kısmi türevlerinin değerlendirilebilmesi koşuluyla, ikinci dereceden bir yˆ(x0 +h) yaklaşımı hesaplamak için kullanılabilir. Ancak, f(x,y) fonksiyonu açıkça bilinmeyebileceğinden bu oldukça zor olabilir.
Runge-Kutta entegrasyonuna götüren fikir, y(x0 + h)’yi, f fonksiyonunun türevini almak yerine, onun birkaç değerlendirmesini yaparak hesaplamaktır.
O(h3) kesme hatasının ihmal edilmesi, ikinci dereceden Runge-Kutta yöntemi olarak sınıflandırılan Heunís yöntemi olarak bilinen bir fark yaklaşımı verir. Adım boyutunu h kadar küçültmek, kesme hatasını yaklaşık ( 1 )3 = 12 faktörü kadar azaltır.
Kısmi diferansiyel denklemler özel çözüm bulma
Doğrusal diferansiyel denklemler
Kısmi diferansiyel Denklemler
Kısmi diferansiyel denklemler genel çözüm örnekleri
Lineer diferansiyel denklem sistemleri
Kısmi Diferansiyel Denklemlerin sınıflandırılması
Diferansiyel denklem çözücü
Homojen Olmayan Diferansiyel Denklemler
Elbette formül, y(x0 + h), y(x0 + 2h), y(x0 + 3h), ‘ye yaklaşımları hesaplamak için özyinelemeli olarak kullanılabilir. Çoğu durumda, entegrasyon adımlarının sayısı arttıkça çözüm doğruluğu azalır ve sonuçlar sonunda güvenilmez hale gelir.
h’yi azaltmak ve sabit bir zaman aralığında daha fazla adım atmak yardımcı olur, ancak bunun aynı zamanda hesaplama süresi ve aritmetik yuvarlama hatası tarafından yönetilen pratik sınırları vardır.
Heunís yöntemine yol açan fikir, daha yüksek dereceli formüller geliştirmek için daha da genişletilebilir. En iyi bilinenlerden biri, aşağıda açıklanan dördüncü sıra Runge-Kutta yöntemidir.
Bu formül için kesme hatası sırası h5’tir; bu nedenle, adım boyutu yarıya indirildiğinde hata yaklaşık 1 kat azalır. Dördüncü dereceden 32 Runge-Kutta yönteminin geliştirilmesi cebirsel olarak oldukça karmaşıktır. Her bir entegrasyon adımı için f’nin dört değerlendirmesi ile dördüncü derecenin doğruluğuna ulaşıldığını not ediyoruz.
Bu durum daha yüksek siparişleri kapsamamaktadır. Örneğin, sekizinci dereceden bir formül, adım başına on iki değerlendirme gerektirebilir. Ortaya çıkan kesme hatasının, daha düşük dereceli formüllerle elde edilebilecek olandan çok daha büyük entegrasyon adımlarına izin verecek kadar küçük olması koşuluyla, daha fazla fonksiyon değerlendirmesinin bu fiyatı faydalı olabilir. MATLAB, değişken adım boyutu kullanan ve dördüncü ve beşinci sıradaki formülleri kullanan ode45 işlevini sağlar. (Not: MATLAB 6.x’te entegratörler, örneğin eşit zaman artışlarını kullanarak keyfi bir zaman vektörü için sonuçlar verebilirler.)
Sayısal Kararlılığı Korumak için Gerekli Adım Boyutu Sınırları
Birçok sayısal integrasyon yöntemi için, çok büyük bir adım büyüklüğü almanın, ardışık zaman adımlarıyla katlanarak artan absürt derecede büyük sonuçlar ürettiği gösterilebilir. Sayısal kararsızlık olarak bilinen bu olgu, basit diferansiyel denklemle gösterilebilir.
Hangisinin çözümü y = ceλt. λ’nın reel kısmı pozitif ise, artan zamanla çözüm sınırsız hale gelir. Bununla birlikte, saf bir hayali λ sınırlı bir salınımlı çözüm üretirken, çözüm gerçek(λ) < 0 için üstel olarak bozulur.
ζ = 1 almak, normalde karmaşık düzlemin sol yarısında uzanan kapalı bir eğri olan kararlılık bölgesinin sınırını tanımlar. Elbette h’nin pozitif olduğu varsayılır ve λ’nın reel kısmı pozitif değildir.
Aksi takdirde, kesin çözüm bile katlanarak büyüyecektir. Belirli bir λ için, adım boyutu h, |λh| yapmak için yeterince küçük alınmalıdır. istikrar bölgesi içinde yer alır. Daha büyük |λ| yani sayısal kararsızlığı önlemek için h ne kadar küçükse o kadar küçük olmalıdır.
Heunís yöntemiyle gösterilen fikir, bir Runge-Kutta keyfi sıralama yöntemine kolayca genişletilebilir. Bir Runge-Kutta n mertebesi yöntemi, Taylor serisi açılımında n mertebesi terimleri aracılığıyla kesin çözümü yeniden üretir. y′ = λy diferansiyel denklemi ima eder.
0 ile 2π arasında değişen yoğun bir θ değerleri kümesi için. MATLAB’ın içsel fonksiyon köklerinin kullanılması, kararlılık sınırını göstermek için çizilebilen polinom köklerinin kolay hesaplanmasını sağlar. Aşağıdaki kısa program görevi yerine getirir.
Dördüncü ve altıncı sıradaki entegratörler için program çıktısı Şekil 8.1 ve 8.2’de gösterilmektedir. 4. dereceden bölgenin yarıçapı 2,8’e yakın bir yarım daireye benzediğine dikkat edin. |λh| kullanma > 2.8, 4. dereceden Runge-Kutta ile, hızla kararsız hale gelen sonuçlar verecektir.
Rakamlar ayrıca 6. dereceden Runge-Kutta için kararlılık bölgesinin, negatif gerçek eksende 4. dereceden Runge-Kutta’dan daha uzağa uzandığını göstermektedir. Kök bulma işlemi ayrıca sağ yarı düzlemde göz ardı edilmesi gereken bazı anlamsız kararlılık bölgeleri ortaya çıkarır.
Diferansiyel denklem çözücü Doğrusal diferansiyel denklemler Homojen olmayan diferansiyel denklemler Kısmi diferansiyel Denklemler Kısmi diferansiyel denklemler genel çözüm örnekleri Kısmi diferansiyel denklemler özel çözüm bulma Kısmi Diferansiyel Denklemlerin sınıflandırılması Lineer diferansiyel denklem sistemleri