Sayısal olarak bir diferansiyel denklemi çözdüğümüzde, ilk eğilimimiz çıktıyı bağımsız değişkenin eşit artışlarında aramaktır. Ancak bu, entegrasyon doğruluğunu sürdürmek için uygun olan en doğal çıktı biçimi değildir.

Çözüm bileşenleri hızla değiştiğinde, küçük bir zaman adımı gerekli olabilirken, çözümün düzgün kaldığı zamanlarda küçük bir zaman adımı kullanmak oldukça verimsiz olabilir.

Çoğu modern ODE programı, bazı yerel hata toleransları ihlal edildiğinde entegrasyon adım boyutunu azaltan ve tersine, artış doğruluk kaybı olmadan gerçekleştirilebildiğinde adım boyutunu artıran değişken adım boyutu algoritmaları kullanır.

Eşit zaman artışlarında sonuçlara ihtiyaç duyulursa, bunlar eşit olmayan değerlerin interpolasyonu ile belirlenebilir. Diferansiyel denklem entegratörleri, sonuçların entegrasyon aralığı boyunca keyfi bir vektörde çıktı verme yeteneği sağlar.

Adım boyutunu düzenlemek için algoritmaların türetilmesi önemli bir konu olmasına rağmen, bu yöntemlerin geliştirilmesi burada sunulmamıştır. Birkaç referans bu konuyu yeterli ayrıntıyla tartışıyor. Adım boyutunu düzenlemedeki birincil amaç, doğruluğu korurken ve fonksiyon değerlendirmelerinin sayısını en aza indirirken mümkün olduğunca büyük bir adım boyutu alarak hesaplama verimliliği elde etmektir.

Tek bir birinci mertebeden diferansiyel denklem içeren pratik problemlerle nadiren karşılaşılır. Daha yaygın olarak, ikinci dereceden denklemler sistemi oluşur ve bu sistem daha sonra iki kat daha fazla birinci dereceden denklem içeren bir sisteme dönüştürülür. Birkaç yüz hatta birkaç bin bağımlı değişken söz konusu olabilir.

Tek bir zaman adımında gerekli zaman türevlerini değerlendirmek, matris ters çevirme gibi hesaplama açısından yoğun görevler gerektirebilir. Ayrıca, pratik ilgi zaman aralıklarında zaman yanıtları oluşturmak için bu temel hesaplamayı birkaç bin kez yapmak gerekli olabilir. Büyük doğrusal olmayan diferansiyel denklem sistemlerini entegre etmek, bilimsel hesaplamanın en önemli ve en yoğun kaynak gerektiren yönlerinden biridir.

ode45’te adım boyutu kontrolü için kullanılan algoritmaları türetmek yerine, y′(t) = f(t,y)’yi t’den (t + h)’ye entegre etmek için kullanılan fikirleri kısaca özetleyeceğiz. y’yi bir vektör olarak düşünmek faydalıdır. Belirli bir zaman adımı ve y değeri için program f’nin altı değerlendirmesini yapar. Bu değerler, her biri farklı kesme hatalarına sahip iki Runge-Kutta formülünün değerlendirilmesine izin verir.

Yatay UZMANLAŞMA Nedir
Yatay Bütünleşme Örnekleri
Yatay entegrasyon Nedir
Yatay ve dikey entegrasyon örnekleri
Yatay entegrasyon stratejisi Nedir
Dikey bütünleşme örnekleri
Yatay birleşme Nedir
Dikey entegrasyon Nedir

Bu formüller, gerçek kesme hatasının tahminine ve doğruluğu kontrol etmek için uygun adım boyutu ayarlamasına izin verir. Tahmin edilen hata çok büyükse, hata toleransı sağlanana kadar adım boyutu küçültülür veya gerekli adım boyutu ayarlanan sınırın altına düştüğü için bir hata durumu oluşur.

Tahmin edilen hatanın gerekenden küçük olduğu bulunursa, entegrasyon sonucu kabul edilir ve sonraki geçiş için adım boyutu artırılır. Bu tür bir süreci tartışmak son derece ilginç olmasa da, yine de diferansiyel denklemleri sayısal olarak entegre etmek için iyi tasarlanmış herhangi bir programın önemli bir parçasıdır.

Okuyucular, ODE çözücüler tarafından kullanılan hata kontrol özelliklerine aşina olmalıdır. ode45 kodunu yazdırmak ve incelemek faydalı olacaktır. Odeset fonksiyonu ile bağlantılı olarak kullanılan yakınsama toleransını incelemek de öğreticidir.

ode45 gibi araçlarla oluşturulan çözümlerin yuvarlama ve aritmetik kesmeden kaynaklanan birikmiş hatalara karşı savunmasız olduğu unutulmamalıdır. Bu tür hatalar genellikle başlangıç ​​zamanından yeterince uzakta elde edilen sonuçları güvenilmez kılar.

Bu bölüm, bilinen kesin çözümlerinin belirli özelliklerine sahip birkaç gerçekçi doğrusal olmayan problemin analizi ile sona ermektedir. Bu bilinen özellikler, hata büyümesini değerlendirmek için sayısal sonuçlarla karşılaştırılır. İlk problem, yükleme fonksiyonunun basit bir tam yer değiştirme fonksiyonu ürettiği ters çevrilmiş bir sarkaç içerir. Üst dinamikler, mermi yörüngesi ve düşen zincir ile ilgili örnekler sunulmaktadır.

Ters Sarkacın Zorlanmış Salınımlarına İlişkin Örnek

Ters çevrilmiş sarkaç, ucuna m kütlesi eklenmiş, uzunluğu l olan ağırlıksız rijit bir çubuk içerir. Kütleye rijitlik sabiti k ve gerilmemiş uzunluğu γl olan bir yay eklenmiştir. 

Sarkaç dikey konumdayken yayın uzunluğu l’dir. Dışarıdan uygulanan yükler, bir sürüş momenti M(t), parçacık ağırlığından ve bir viskoz sönüm momentinden cl2θ ̇ oluşur. Bu sistemin hareketini yöneten diferansiyel denklemdir.

Sayısal bir yöntemin doğrusal olmayan bir fonksiyon için bilinen bir kesin çözümü ne kadar iyi yeniden oluşturabileceğini test etmek ilginçtir. M(τ) sürüş momentinin denkleme sahip bir hareket ürettiğini varsayalım.

Belirli bir sayısal örnek için θ0 = π/8, ω = 0,5 ve dört farklı β, γ ve tol kombinasyonunu seçiyoruz. İkinci mertebeden diferansiyel denklem θ ∎ = f (τ, θ, θ ̇) biçimindedir. Bu, y1 = θ, y2 = θ ̇ vererek birinci mertebeden matris sistemi olarak ifade edilir.

Bu bölümün sonunda ode45 ile çözüm için sistemi açıklayan bir fonksiyon verilmiştir. θ0, ω0, α, ζ ve β parametreleri global değişkenler olarak geçirilir.

Belirli fiziksel parametrelerin ve sayısal toleransların bu problemdeki terimleri nasıl etkilediği aşağıdaki dört veri durumu ile gösterilebilir:

1. Yay yumuşaktır ve başlangıçta gergin değildir. Liberal bir entegrasyon toleransı kullanılır.
2.Yay yumuşak ve başlangıçta esnemez. Büzücü entegrasyon toleransı kullanılır.
3. Yay serttir ve başlangıçta gergindir. Liberal bir entegrasyon toleransı kullanılır.
4. Yay serttir ve başlangıçta gergindir. Sıkı bir entegrasyon toleransı kullanılır.

Eğriler aşağıdaki gerçekleri gösterir:

1. Yay başlangıçta gerilmediğinde, sayısal çözüm hızla kararsız hale gelir.
2. Başlangıçta yayı germek ve yay sabitini artırmak, çözümün sayısal kararlılığını iyileştirir.
3. Entegrasyon toleransını azaltmak, çözümün geçerli olduğu süreyi uzatır.

Durum 1 için sonuçların sayısal yanlışlığını gösteren ek bir eğri belirir. θ(τ) ile θ ̇(τ)/ω arasındaki grafiğin bir daire oluşturması gerekir. Ancak, çözüm noktaları istenen lokustan hızla uzaklaşır.

The post Entegrasyon Adım Boyutu – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri first appeared on Akademi Delisi (Tez Yaptırma).