MATLAB, −uxx −uyy = f için sonlu fark modeline uygulandığı için en dik iniş yöntemini yürütmek için kullanılacaktır. Katsayı matrisi pozitif tanımlıdır ve bu nedenle bu özel şemayı kullanabiliriz. MATLAB kodu st.m’de kısmi diferansiyel denklemin sağ tarafı 200(1+sin(πx)sin(πy))’ye eşittir ve çözümün (0, 1) × (0 sınırında sıfır olması gerekir).

Sağ taraf 13-18 satırlarda hesaplanır ve saklanır. Vektörler 2B diziler olarak temsil edilir ve seyrek matris A açıkça saklanmaz. 26, 32 ve 35. satırlarda dizi işlemlerinin kullanımını gözlemleyin. 

Ar matris ürünü, 2B q dizisinde depolanır ve sınır düğümlerinde r’nin sıfır olduğunu kullandığımız 27-31 satırlarında hesaplanır. c = rT r/rT Ar değeri, satır 32’de hesaplandığı gibi alpha’dır. Çıktı, hata normuna karşı yinelemeler için semilog grafiğin MATLAB semilogy(reserr) tarafından oluşturulduğu satır 38 ve 39’da verilmiştir. .

En dik iniş yöntemi yakınsak gibi görünüyor, ancak 200 yinelemeden sonra artık normu hala sadece .01 civarında. Bir sonraki bölümde eşlenik gradyan yöntemi açıklanacaktır. Eşlenik gradyan yöntemiyle yapılan bir hesaplama, yalnızca 26 yinelemeden sonra artık normunun yaklaşık .0001 olduğunu gösterir. Genel olarak, en dik iniş yöntemi, eşlenik gradyan yöntemine göre yavaştır. Bunun nedeni, minimizasyonun yalnızca bir yönde olması ve daha yüksek boyutlu kümeler üzerinde olmamasıdır.

Değerlendirme

Rayleigh-Ritz ve en dik iniş yöntemleri, sonlu elemanlar ayrıklaştırma yöntemi ve eşlenik gradyan yinelemeli yöntemler gibi mevcut sayısal yöntemlere giriş işlevi gören klasik yöntemlerdir. MATLAB, bunlardan bazılarını uygulayan çok güzel bir kısmi diferansiyel denklem araç kutusuna sahiptir.

Çeşitli eşlenik gradyan şemaları hakkında daha fazla bilgi için pcg (ön koşullu eşlenik gradyan) için MATLAB yardım komutunu kullanın. Ayrık denklik teoreminin ispatı aşağıdaki matris hesaplamalarına dayanmaktadır.

İlk olarak, A’nın simetrik pozitif tanımlı olup olmadığını ve foral olarak ifxsatisfiesAx=d,sonra J(x)≤J(y) olduğunu göstereceğiz. Lety=x+(y−x)anduse A pozitif tanımlı olduğundan, (y − x)T A(y − x) sıfırdan büyük veya ona eşittir. Böylece, J(y), J(x)’den büyük veya ona eşittir.

İkinci olarak, eğer J(x) = min J(y) ise r = r(x) = 0 ise göstereceğiz. Diyelim ki r y değil, sıfır vektörü rT r > 0 ve rT Ar > 0 olacak şekilde. y’yi, y − x = rc ve 0 ≤ J(y)−J(x) = −crTr+ 12 c2rTAr olacak şekilde seçin. Yeterince küçük için bir çelişki vermesi için c = rTr/rTAr olsun.

Zayıf formülasyon, herhangi bir çözümün benzersiz olması gerektiğini göstermek için kullanıldı. Sonlu farklar yöntemine alternatif olan sonlu elemanlar yöntemini formüle etmek için de kullanılabilir. Sonlu farklar yöntemi, alanın bir dikdörtgenler birleşimi olmasını gerektirir.

Sonlu elemanlar yönteminin bir versiyonu, uzay alanını üçgenlerin (elemanların) sonlu birleşimi olarak kullanır ve φj(x,y) üçgenler üzerinde parçalı doğrusal fonksiyonlardır. j düğümü için φj (x, y) sürekli, j düğümünde 1.0’a eşit, bitişik üçgenlerde (x,y) için doğrusal bir fonksiyon ve başka yerde sıfır olsun. Bu, dikdörtgen olmayan alanlarda sayısal yaklaşımlara izin verir.

Stokastik gradyan iniş
Gradyan hesaplama
Gradyan Nedir
Sürekli ve türevlenebilir fonksiyonun gradyanı
Derin öğrenmede optimizasyon yöntemleri
Gradyan tabanlı optimizasyon
Gradyan iniş Algoritması
Stochastic gradient descent Nedir

Eşlenik Gradyan Yöntemi

Eşlenik gradyan yönteminin üç temel bileşeni vardır: çoklu yönlerde en dik iniş, eşlenik yönler ve ön koşullandırma. En dik inişin çok yönlü versiyonu, enerjide mümkün olan en büyük düşüşü garanti eder. Eşlenik yön, indirgenmiş cebirsel sistemin çözümünün minimum miktarda hesaplama ile yapılmasını sağlar. Ön koşullandırma, yakınsama daha hızlı olacak şekilde ilk problemi değiştirir.

Yöntem

En dik iniş yöntemi, simetrik pozitif belirli matrisler için cebir sistemi Ax = d’nin gerçek değerli bir J (x) = 12 xT Ax − xT d fonksiyonunu en aza indirmeye eşdeğer olduğu gerçeğine dayanır; zarın potansiyel enerjisi. Çözüm için bir başlangıç ​​tahmini yapın, x ve p yönünde hareket edin, böylece yeni x, x+ = x+cp, J(x+)’i minimum yapacaktır.

J’nin yönlü türevinin en büyük olduğu en dik inişin yönü p, p = −r ile verilir. Sonra F(c) = J(x+cr) minimum olacak şekilde c’yi seçin ve bu c = rTr/rTAr. En dik iniş yönteminde yalnızca mevcut artık kullanılır. Önceki tüm artıkların doğrusal bir kombinasyonu kullanılacak olsaydı, o zaman “enerji”, J(xb+), en dik iniş yöntemi için J(x+)’den daha küçük olurdu.

Şimdi c’yi seçin, böylece −cTRTrm + 12cT(RTAR)c minimum olur. RTAR simetrik pozitif tanımlıysa, ayrık denklik teoremini kullanın. Bu durumda x, c ile değiştirilir ve A matrisi (m+1)×(m+1) matrisi RT AR ile değiştirilir. A’nın simetrik pozitif tanımlı olduğu varsayıldığından, eğer R’nin sütunları lineer olarak bağımsız ise RT AR simetrik ve pozitif tanımlı olacaktır (Rc = 0, c = 0 anlamına gelir). Bu durumda c (m+1)×1’dir ve indirgenmiş cebirsel sistemin çözümü olacaktır.

Eşlenik yönleri kullanmanın amacı, matris RT AR’nin tersine çevrilmesinin kolay olmasını sağlamaktır. RT AR’nin ij bileşeni (ri)T Arj’dir ve RT rm’nin i bileşeni (ri)T rm’dir. Köşegen bir matris olsaydı, RT AR’nin tersine çevrilmesi kolay olurdu ve bu durumda i için j (ri)T Arj = 0’a eşit değildir.

Bu, sütun vektörlerinin, A’nın simetrik pozitif tanımlı olduğu xT Ay tarafından verilen iç çarpıma göre “dik” olacağı anlamına gelir. Burada Gram-Schmidt sürecini uygulayabiliriz. İki yön için r0 ve r1 bu forma sahiptir.

Neyse ki, bu süreç devam ediyor ve (3.6.4)’deki indirgenmiş matrisin her zaman bir köşegen matris olacağı ve sağ tarafın sadece bir sıfır olmayan bileşene, yani son bileşene sahip olacağı matematiksel tümevarımla gösterilebilir. Böylece, eşlenik yönlerin kullanılması, hesaplamaların miktarını önemli ölçüde azaltır ve önceki arama yönü vektörünün saklanmasına gerek yoktur.

Aşağıdaki açıklamada, eşlenik gradyan yöntemi, ön koşullandırıcının M = I olduğu duruma karşılık gelir. Ortak bir ön koşullayıcı, SOR şemasının bir ileri ve sonra geriye doğru bir taramada yürütüldüğü SSOR’dur. A = D−L−LT ise, burada D, A’nın köşegen kısmı ve −L, A’nın kesinlikle alt üçgensel kısmıdır.

The post Eşlenik Gradyan Yöntemi – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri first appeared on Akademi Delisi (Tez Yaptırma).