Bu bölümün ve sonraki bölümün amacı, A katsayı matrisinin simetrik (A = AT ) ve pozitif tanımlı (xT Ax > 0 tüm sıfır olmayan gerçek vektörler x için) olduğu özel cebirsel sistemleri çözmek için eşlenik gradyan yöntemini tanıtmaktır. Bu matrislerin özellikleri de dikkatle incelenecektir.

Bu yöntem, sınırdaki konum ve membran üzerindeki basınç biliniyorsa, membranın deformasyonunu bulmak için uygulanan problem tarafından motive edilecektir. Model başlangıçta, zarın potansiyel enerjisi minimum olacak şekilde deformasyonu bulma açısından olacaktır, ancak kısmi diferansiyel denklem olarak yeniden formüle edilecektir.

Ayrıca tek yönde en dik iniş yöntemi tanıtılacaktır. Bir sonraki bölümde, bu, en sonunda eşlenik gradyan yöntemine yol açacak olan, birden çok yöne en dik iniş yönteminden genelleştirilecektir.

Uygulanan Alan

Kenarları sabitlenmiş bir zar, örneğin bir müzik davulu düşünün. Membranın iç kısmına basınç (birim alan başına kuvvet) uygulanırsa, membran deforme olur. Amaç, membran üzerindeki her konum için deformasyonu bulmaktır.

Burada sadece zamandan bağımsız modele odaklanacağız ve ayrıca deformasyonun ve birinci mertebeden kısmi türevinin “nispeten” küçük olduğunu kabul edeceğiz. Bu iki varsayım, önceki bölümlerdeki ısı difüzyonu ve sıvı akışı modellerine benzer bir model formüle etmemizi sağlayacaktır.

Model

Üç eşdeğer model olacak. Minimum potansiyel enerji modelinin formülasyonu, küçük deformasyonlu kararlı hal membranının zayıf formülasyonunu ve kısmi diferansiyel denklem modelini verecektir. (x, y) uzay konumundaki deformasyon u(x, y) olsun. Potansiyel enerjinin iki kısmı vardır: biri genişleyen yüzey alanından ve diğeri uygulanan basınçtan. ∆x∆y dikdörtgen bölgesinin üzerinde zarın küçük bir parçasını düşünün. ∆x∆y bölgesinin üzerindeki yüzey alanı, küçük bir yama için yaklaşıktır.

Bu yamanın zarın genişlemesinden kaynaklanan potansiyel enerjisi, ∆S − ∆x∆y farkıyla orantılı olacaktır. Orantı sabiti T gerilimi tarafından verilsin.

Uygulanan basınçtan kaynaklanan potansiyel enerji, f(x,y), kuvvet çarpı mesafedir. Burada kuvvet basınç çarpı alandır, f(x,y)∆x∆y. Yani kuvvet yukarı doğru uygulandığında pozitif ise, uygulanan basınçtan kaynaklanan potansiyel enerjidir.

Uygun u(x, y) seçimi, bu integral sonlu olacak ve zarın kenarında verilen deformasyonlar karşılanacak şekilde bir fonksiyon olmalıdır. Bu fonksiyon setini S ile belirtin. S’nin kesin doğası biraz karmaşıktır, ancak S en azından parçalı sürekli kısmi türevli sürekli fonksiyonları içermelidir, böylece (3.5.4)’teki çift katlı integral mevcuttur.

Tanım. S’deki u fonksiyonu, ancak ve ancak P (u) = minP (v) ise, kararlı hal membran probleminin bir enerji çözümü olarak adlandırılır; burada v, S’deki herhangi bir fonksiyondur ve P(u) (3.5.4)’dendir.

Zayıf formülasyon, enerji formülasyonundan kolayca türetilir. φ, zarın sınırında sıfır olan herhangi bir fonksiyon olsun ve öyle ki u + λφ, −1 < λ < 1 için, aynı zamanda S uygun fonksiyonlar kümesinde olsun. F(λ) ≡ P(u +) tanımlayın. λφ). Eğer u bir enerji çözümü ise, o zaman F, λ = 0’da minimum reel değerli bir fonksiyon olacaktır. Bu nedenle, P’yi (u + λφ) genişleterek, λ’ya göre türevi alarak ve λ = 0 ayarlanır.

O halde w’nin bir sabit olması için w’nin her iki kısmi türevi de sıfır olmalıdır. Ancak, w sınırda sıfırdır ve bu nedenle w, u ve U eşit olmak üzere sıfır olmalıdır.

Total deformasyon Nedir
Deformasyon modülü Nedir
Kinematik analiz Yöntemleri
Rezilyans modülü
Gerinim birimi
Deformasyon Nedir
Stress formülü
Elastisite modülü hesaplama örnek soru

Üçüncü bir formülasyon, kısmi diferansiyel denklem modelidir. Bu genellikle klasik model olarak adlandırılır ve u’nun ikinci dereceden kısmi türevlerini gerektirir. İlk iki model sadece birinci dereceden kısmi türevler gerektirir.

Bu, (3.5.5)’e eşdeğerdir, dolayısıyla klasik çözüm zayıf bir çözüm olmalıdır. Herhangi bir enerji veya klasik çözümün zayıf bir çözüm olması gerektiğini gösterdik. Zayıf bir çözüm benzersiz olması gerektiğinden, herhangi bir enerji veya klasik çözüm benzersiz olmalıdır.

Aslında, uygun varsayımlar altında üç formülasyon eşdeğerdir. Bunu anlamak için, uygun bir fonksiyon kümesi olan S’nin tanımı konusunda daha dikkatli olunmalıdır. Ancak bu küme tam olarak tanımlanmasa da bu sonucu belirtiyoruz. Enerji ve zayıf çözümlerin doğrudan ikinci dereceden türevlerin varlığını gerektirmediğine dikkat edin.

Enerji formülasyonu, çözümün sonlu sayıda uygun fonksiyonun lineer bir kombinasyonu ile yaklaşık olduğu klasik Rayleigh-Ritz yaklaşım şeması aracılığıyla ayrıklaştırılabilir, φj (x, y), burada j = 1, · · · , n  olur.

Bu fonksiyonlar polinomlar, trigonometrik fonksiyonlar veya diğer olası adaylar olabilir. Lineer kombinasyondaki uj katsayıları bilinmeyenlerdir ve (3.5.4)’deki enerji minimum olacak şekilde de seçilmelidir.

Bu cebirsel sistem, u(x,y)’yi (3.5.8)’e ve φ = φi(x,y)’yi zayıf denkleme (3.5.5) koyarak zayıf formülasyondan da bulunabilir. A matrisi aşağıdaki özelliklere sahiptir: (i) simetrik, (ii) pozitif tanımlı ve (iii) F (u) = 1/2 uT Au − uT d. Simetrik özellik, aij’nin tanımından gelir. Pozitif belirli özellik de aşağıdakilerden gelir.

Üçüncü özellik F,A ve d tanımlarından gelir. Aşağıdaki önemli teorem, Au = d (3.5.10) cebirsel probleminin (3.5.9)’da verilen minimizasyon problemine denk olduğunu da göstermektedir. Bu bölümün sonunda kısmi bir ispat verilmiştir ve bu önemli sonuç bir sonraki bölümde tekrar da kullanılacaktır.

Teorem 3.5.2 (Ayrık Eşdeğerlik Formülasyonları) A herhangi bir simetrik pozitif tanımlı matris olsun. En dik iniş yöntemi, şimdi J(x) ile göstereceğimiz ayrık enerji integralini en aza indirmeye dayanmaktadır. Varsayalım ki, çözüm için bir başlangıç ​​tahmini, x yapalım ve yeni x, x+ = x + cp, J(x+)’i minimum yapacak şekilde bir p yönünde hareket etme arzusundayız. J(x)’in yönlü türevinin en büyük olduğu en dik inişin yönü, p, p = ∇J (x) ≡ [J (x)xi ] = −(d − Ax) ≡ −r ile verilir. Bu yön belirlendikten sonra c’yi f(c) = J(x + cr) minimum olacak şekilde seçmemiz de gerekir.

The post Deformasyon – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri first appeared on Akademi Delisi (Tez Yaptırma).