Bu bölümde, Ax = d çözümü için Gauss eliminasyonunu tartışmaya devam edeceğiz. Burada Gauss eliminasyonunun blok versiyonunu inceleyeceğiz. Bu özellikle iki nedenden dolayı yararlıdır. İlk olarak, bu, bilgisayarın bellek hiyerarşisinin verimli kullanımına izin verir. İkincisi, cebirsel denklem fiziksel nesne modellerinden evrimleştiğinde, nesnenin ayrıştırılması matris A’daki bloklarla eşleşebilir. Bunu bir ve iki uzay değişkenli kararlı hal ısı difüzyon modelleri için ve daha sonra modeller için göstereceğiz. 

Uygulanan Alan

Bir önceki bölümde, bir soğutma kanadında ısının sabit durum difüzyonu modelini tartışmıştık. Sürekli model, sıcak kütleyi birleştiren sınırda verilen sıcaklık ile sıradan bir diferansiyel denklem formuna sahiptir.

Eğer iki yönde ısı yayılımı varsa, o zaman model daha karmaşık olacaktır ve bu sonraki bölümde daha dikkatli anlatılacaktır. Amaç, birden fazla uzay değişkeninin bir fonksiyonu olarak yaklaşık sıcaklık için elde edilen cebirsel denklem sistemini çözmektir.

Modeli

Kararlı hal ısı difüzyonu için sürekli modeller, ısı akış yönlerine uygulanan Fourier ısı yasasının bir sonucudur. Basitlik için, sıcaklığın sınırın tüm kısımlarında verildiğini varsayalım. Daha fazla ayrıntı, iki yönde difüzyon için kararlı hal soğutma kanadı modelinin türetildiği sunulmuştur.

n = 6 olan ayrık 1B modelin matris versiyonu aşağıdaki gibidir. Bu 1B model, soldan sağa klasik sırayla listelediğimiz 5 bilinmeyene sahip olacak. A matrisi 5 × 5 olacaktır ve her iki tarafı β = K/h2’ye bölerek (2.4.5)’den türetilmiştir.

n = 6 olan ayrık 2B modelin matris versiyonu 52 = 25 bilinmeyene sahip olacaktır. Sonuç olarak, A matrisi 25 × 25 olacaktır. Bileşenlerinin konumu (2.4.7) satırından evrimleşecek ve bilinmeyenlerin uij sıralamasına bağlı olacaktır. Klasik sıralama yöntemi, alt ızgara satırından (j = 1) başlamak ve soldan (i = 1) sağa (i = n − 1) hareket etmektir.

Son ızgara satırı j = n − 1’e karşılık gelir. Dolayısıyla, A’yı her bloğun 5×5 olduğu ve bir ızgara satırına karşılık geldiği 5×5 bir blok matrisi olarak düşünmek mantıklıdır. (2.4.7)’deki denklemlerin dikkatli bir şekilde yazılmasıyla A’yı şu şekilde türetebiliriz.

Yöntem

Yukarıdaki 5×5 blok matrisinde Gauss eliminasyonunun blok versiyonunu denemek cezbedicidir. İlk blok satırı, blok (2,1) konumunda (blok satır 2 ve blok sütun 1) −I’yi ortadan kaldırmak için kullanılabilir. Sadece 1. blok satırını B−1 ile çarpın ve elde edilecek 2. satırı bloğa yeni blok satırı 1’i ekleyin.

Köşegen üzerindeki herhangi bir sonraki blok matrisin tüm ters matrisleri mevcutsa, A’nın alt blok kısmındaki tüm bloklar 5 × 5 sıfır matrisine dönüştürülünceye kadar buna devam edilebilir.
Bunu daha kesin hale getirmek için, köşegen blokların kare olduğu ancak aynı boyuta sahip olmayabileceği bir 2×2 blok matrisini ele alacağız.

Genel olarak A n × n, n = k + m, B k × k, C m × m, E k × m ve F m×k olacaktır. Örneğin, yukarıdaki 5×5 blok matriste n = 25, k = 5 ve m = 20 ve diyelim.

Difüzyon nedir biyoloji
Difüzyon örnekleri
Kolaylaştırılmış difüzyon
Kolaylaştırılmış Difüzyon Örnekleri
Difüzyon Nedir
Basit difüzyon Nedir
Kolaylaştırılmış difüzyonla geçen maddeler
Basit difüzyon Örnekleri

Böylece, blok üst üçgen matrisi tekil değilse, bu son blok denklemi çözülebilir. Kare matrislerin aşağıdaki temel özellikleri (2.4.10)’un çözümünde önemli rol oynar. Bu özellikler doğrudan bir ters matrisin tanımından gelir.

Teorem 2.4.2 (Schur Tamamlayıcı Varlığı) A’yı (2.4.10)’daki gibi düşünün. A’daki B’nin hem B hem de Schur tümleyeni tekil değilse, o zaman A tekil değildir. Ayrıca, Ax = d’nin çözümü (2.4.11)’in bir blok üst üçgen çözümü kullanılarak verilmiştir.

B ve C bloklarının seçimi çok önemli bir rol oynayabilir. Genellikle, modellenen fiziksel nesnenin seçimi, B ve C seçimini önerir. Örneğin, ince bir teldeki ısı difüzyonu modelleniyorsa, B ile ilişkili bilinmeyenler, sol taraftaki bilinmeyenler olabilir. ince tel ve C ile ilişkili bilinmeyenler o zaman sağ taraf olacaktır.

Diğer bir alternatif ise teli üç parçaya bölmektir: küçük bir merkez ve sol ve sağ taraf; bu, tel iki tür malzemeden yapılmışsa faydalı olabilir. Biraz daha ayrıntılı bir örnek, bir uçak üzerindeki hava akımı modelidir. Burada uçağı kanat, dümen, gövde ve “bağlantı” bileşenlerine ayırabiliriz. Fiziksel nesnenin veya matrisin bu tür bölümlerine etki alanı ayrıştırmaları denir.

MATLAB, Schur tamamlayıcısını, alan ayrıştırmasını ve bilinmeyenlerin farklı sıralanmasını göstermek için kullanılacaktır. Bilinmeyenlerin klasik sıralaması, B’nin veya onun Schur tamamlayıcısının “çözülmesi” veya “ters çevrilmesi” minimum miktarda iş olacak şekilde değiştirilebilir. n = 6 (5 bilinmeyen) ile 1D Isı Difüzyonu. Bilinmeyenlerin klasik sıralaması u1, u2, u3, u4, u5 katsayı matrisini verir.

Bilinmeyenlerin etki alanı ayrıştırma sırası u3;u1,u2;u4,u5’tir. Yeni A0 katsayı matrisini oluşturmak için denklemleri yeni sırayla listeleyin. Örneğin, üçüncü bilinmeyen için denklem −u + 2u − u = (1/β)f ve 2£343¤ şeklindedir, bu nedenle yeni katsayı matrisinin ilk satırı 2 0 −1 −1 0 olmalıdır. Yeni katsayı matrisindeki diğer satırlar bulunur.

Burada B = [2] ve C blok köşegendir. Aşağıdaki MATLAB hesaplamalarında, B’nin tersine çevrilmesinin kolay olduğuna ve Schur tamamlayıcısının C matrisinden daha karmaşık olduğuna dikkat edin.

Burada C = [2] ve B blok köşegendir. B’nin Schur tamamlayıcısı 1 × 1 olacaktır ve tersine çevrilmesi kolaydır. Ayrıca B blok köşegen olduğu için ters çevrilmesi kolaydır. Aşağıdaki MATLAB hesaplamaları bunu göstermektedir.

n = 6 (25 bilinmeyen) ile 2D Isı Difüzyonu.

Burada, üçüncü ızgara sırasının en son listelendiği ve birinci, ikinci, dördüncü ve beşinci ızgara sıralarının bu sırayla ilk sıralandığı alan ayrıştırmasını kullanacağız. Her blok, her grid satırındaki 5 bilinmeyen için 5×5 ve i 5×5 özdeşliktir.

B, blok 4×4 matrisi ve C = b olacaktır. B matrisi blok köşegendir ve tersine çevrilmesi nispeten kolaydır. C matrisi ve B’nin Schur tamamlayıcısı 5 × 5 matristir ve tersine çevrilmesi veya “çözülmesi” kolay olacaktır. Bu tür alan ayrıştırması ile Schur tamamlayıcı matrisi küçük olacaktır, ancak çoğunlukla sıfır olmayan bileşenlere sahip olacaktır. Bu, aşağıdaki MATLAB hesaplamaları ile gösterilmiştir.

The post Difüzyon Modelleri – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri first appeared on Akademi Delisi (Tez Yaptırma).