MATLAB, −uxx − uyy = f için sonlu fark modeline uygulandığı için SSOR ön koşullandırıcısı ile ön koşullu eşlenik gradyan yöntemini yürütmek için kullanılacaktır. Katsayı matrisi simetrik pozitif tanımlıdır ve bu nedenle bu özel şema kullanılabilir. Burada kısmi diferansiyel denklemin sağ tarafı 200(1 + sin(πx)sin(πy))’ye eşittir ve çözümün (0, 1) × (0, 1) sınırında sıfır olması gerekir.

MATLAB kodunda precg.m dizi işlemlerinin kullanımını gözlemleyin. Vektörler 2B diziler olarak temsil edilir ve seyrek matris A açıkça saklanmaz. Ön koşullandırma, kullanıcı tanımlı MATLAB işlevi ssor.m’ye yapılan bir çağrının kullanıldığı 23 ve 48. satırlarda yapılır.

Eşlenik gradyan yöntemi, 29-52 satırlarındaki while döngüsü tarafından yürütülür. 33-37 satırlarında Ap ürünü hesaplanır ve 2B dizi q içinde saklanır; Ap’nin hesaplanmasında sınır ızgarasında p = 0’ın nasıl kullanıldığına dikkat edin. c = alpha ve b = newrho/rho değerleri 40 ve 50. satırlarda hesaplanır. Eşlenik yön 51. satırda tanımlanır.

Genel olarak, en dik iniş yöntemi, eşlenik gradyan yöntemine göre yavaştır. Bu problem için en dik iniş yöntemi 200 yinelemede yakınsamıyordu; eşlenik gradyan yöntemi 26 yinelemede yakınsadı ve SSOR ön koşullu eşlenik gradyan yöntemi 11 yinelemede yakınsadı. Her iki yöntemin genel yakınsaması kaydedilir.

Değerlendirme

Tanımladığımız eşlenik gradyan yöntemi, simetrik bir pozitif kesin katsayı matrisi içindir. Matris simetrik pozitif tanımlı olmadığında bir takım varyasyonlar vardır. Ön koşullayıcıların seçimi önemlidir, ancak pratikte bu seçim genellikle deneysel olarak yapılır veya benzer hesaplamalara dayanır.

Ön koşullayıcı, tek bir yineleme için hesaplamanın yaklaşık %40’ını oluşturabilir, ancak yakınsama için gerekli yineleme sayısını önemli ölçüde azaltabilir. Eşlenik gradyan yönteminin bir başka pahalı bileşeni, matris-vektör çarpımıdır ve bu nedenle, bunun uygulanmasına özellikle dikkat edilmelidir.

Optimizasyon problemlerinin sınıflandırılması
Klasik optimizasyon teknikleri
Zeki Optimizasyon algoritmaları
CPLEX konu anlatımı
Optimizasyon projeleri
Günlük hayatta optimizasyon örnekleri
Planlama ve optimizasyon DERS NOTLARI
Kısıtlı optimizasyon

Doğrusal Olmayan ve 3B Modeller

Önceki bölümde, iki boyutlu durağan hal uzay problemlerinin çözümüne yaklaşmak için doğrusal yinelemeli yöntemler kullanıldı. Bu genellikle, en dıştaki döngünün yöntemin yinelemesi olduğu ve en içteki iki döngünün iki boşluk yönü için olduğu üç iç içe döngüyle sonuçlanır. İki boyutlu problem lineer değilse veya problem lineer ve üç yönlü ise, o zaman ek bir döngü olmalıdır. İlk üç bölümde doğrusal olmayan problemler, Picard ve Newton yöntemleri tanıtılmıştır.

Son üç bölüm, üç uzay boyutu problemine ayrılmıştır ve bunlar genellikle yüksek performanslı bilgi işlem kullanımını gerektirir. Uygulamalar, doğrusal ve doğrusal olmayan ısı transferini ve bir sonraki bölümde uzaya bağlı popülasyon modellerini, görüntü restorasyonunu ve opsiyon sözleşmelerinin değerini içerecektir. Doğrusal olmayan yöntemlere temel bir giriş Burden ve Faires’de bulunabilir.

Tek Değişkende Doğrusal Olmayan Problemler

Doğrusal olmayan problemler, x = g(x) fonksiyonunun sabit noktası veya eşdeğeri olarak f(x) ≡ x − g(x) = 0’ın kökü olarak formüle edilebilir. Bu, hesaplamalarda ortaya çıkan yaygın bir problemdir, ve daha genel bir problem, N denklem verildiğinde N bilinmeyeni bulmaktır. İkiye bölme algoritması, bu daha karmaşık problemlere çok iyi genelleme yapmaz. Bu bölümde, birden fazla bilinmeyenli problemlere genelleme yapan Picard ve Newton olmak üzere iki algoritma sunacağız.

Newton’un algoritması en önemli sayısal şemalardan biridir, çünkü uygun koşullar altında yerel ve ikinci dereceden yakınsama özelliklerine sahiptir. Yerel yakınsama, ilk tahminin köke yeterince yakın olması durumunda, algoritmanın köke yakınsayacağı anlamına gelir.

İkinci dereceden yakınsama, bir sonraki adımdaki hatanın, mevcut adımdaki hatanın karesiyle orantılı olacağı anlamına gelir. Genel olarak, Picard algoritması yalnızca bir sonraki adımdaki hatanın mevcut adımdaki hatayla orantılı olduğu birinci dereceden yakınsamaya sahiptir. Ancak, Picard algoritması, ilk tahminden bağımsız olarak sabit bir noktaya yakınsayabilir.

Uygulanan Alan ve Model

Alan değişkenine göre homojen sıcaklığa sahip bir nesnenin hızlı soğumasını düşünün. Nesneden çevreleyen bölgeye transfer yoluyla ısı kaybı, Newton yasasından farklı denklemlerle yönetilebilir. Ana ısı kaybının radyasyon yoluyla olması için ince bir telin ısındığını varsayalım. O halde Newton’un soğuma yasası doğru bir model olmayabilir. Daha doğru bir model Stefan radyasyon yasasıdır.

F’nin türevi -4cu3’tür ve başlangıç ​​sıcaklığına yakın sıcaklık için büyük ve negatiftir, F0(973) = -4.6043. Bu nitelikteki problemlere katı diferansiyel denklemler denir. Sağ taraf çok büyük olduğu için, u+’nın bir sonraki zaman adımında u(t)’nin yaklaşıklığı olduğu ve h’nin u+ = u + hF (u) zamanındaki artışı olduğu Euler yönteminde çok küçük zaman adımları gereklidir. Bir alternatif, bir sonraki zaman adımında F(u(t))’yi değerlendirmektir, böylece Euler yöntemindeki örtük bir varyasyon u+ = u + hF (u+) olur. Bu nedenle, her zaman adımında bir sabit nokta problemi çözülmelidir.

Yöntem: Picard

Katı diferansiyel denklemler için uygun bir algoritma kullanmamız gerekecek. Model, m’nin zaman adımını değil, bir iç yinelemeyi gösterdiği bir sabit nokta problemidir. Bu yineleme için ilk tahmin, Euler algoritmasının bir adımından alınabilir.

Örnek 1. ut = f(t,u) = t2+u2 ve u(0) = 1 için ilk zaman adımını düşünün. Denklem (4.1.1) üzerindeki bir varyasyon forma sahiptir. Bu, ikinci dereceden formül kullanılarak çözülebilir, ancak yeterince küçük h için (4.1.2)’nin birkaç yinelemesi kullanılabilir.

h = .1 ve ilk tahmin u0 = 1 (m = 0) olsun. O zaman (4.1.2)’den gelen hesaplamalar şöyle olacaktır: 1.100500, 1.111055, 1.112222, 1.112351. Eğer son hesaplamadan “memnun”sak, o zaman bunun bir sonraki zaman kümesinin değeri olmasına izin verin, uk burada k = 1 ilk zaman adımıdır, böylece bu u(1h)’nin bir yaklaşımıdır.

Picard algoritması (4.1.2)’deki gibi ardışık yaklaşım biçimine sahiptir, ancak daha genel g(x). Algoritmada, art arda iki hesaplamada çok az fark olana kadar yinelemeye (4.1.2) devam ederiz. Bir başka olası durdurma kriteri, doğrusal olmayan artık f(x) = g(x)−x’in boyutunu incelemektir.

The post Ön Koşullu Gradyan Yöntemi – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri first appeared on Akademi Delisi (Tez Yaptırma).