Bu bölüm, ısı difüzyon modelinin kararlı hal çözümünü ele almaktadır. Burada, içlerinde türev terimleri olan sınır koşulları, sonraki iki bölümde iki ve üç uzay değişkenine genişletilecek olan soğutma kanatçık modeline uygulanır. Gauss eliminasyon yönteminin varyasyonları, katsayı matrisinin blok yapısının kullanıldığı yerlerde incelenmiştir.

Bu, büyük cebirsel sistemlerin paralel çözümü için çok önemli olacaktır. Son iki bölüm, iki tür yakınsama analizi ile ilgilidir: biri ayrık zamana göre ve diğeri ağ boyutuna göre.

Kararlı Hal ve Üçgen Çözümler

Sonraki dört bölüm, lineer cebirsel sistemin çözümü ile ilgili olacaktır. burada A verilen bir n × n matrisidir, d verilen bir sütun vektörüdür ve x bulunacak bir sütun vektörüdür. Bu bölümde, A’nın üçgen matris olduğu özel duruma odaklanacağız. Cebirsel sistemler, envanter yönetimi, elektrik devreleri, sabit durumlu kirli akım ve bir teldeki ısı difüzyonu gibi birçok uygulamaya sahiptir.

Hem kirli akım hem de ısı difüzyonu problemleri başlangıçta zamana ve mekana bağlı problemler olarak formüle edildi, ancak daha büyük zamanlar için konsantrasyonlar veya sıcaklıklar mekandan çok zamana bağlıdır. Zamandan bağımsız bir çözüm, kararlı durum veya denge çözümü olarak adlandırılır ve bu çözüm, x’in kararlı durum çözümü olduğu cebirsel denklem sistemleriyle (2.1.1) modellenebilir. Ax = d biçimindeki sistemler (I−A)u = b aracılığıyla u = Au+b’den türetilebilir ve u yerine x, b yerine d ve (I – A) A ile değiştirilir.

Aşağıdaki örneklerle gösterilen birkaç (2.1.1) durumu vardır.

Örnek 1. Cebirsel sistemin bir çözümü olmayabilir. 

d = [1 2]T ise, l1 doğrusu üzerindeki noktalar tarafından verilen sonsuz sayıda çözüm vardır. d = [1 4]T ise, o zaman çözüm yoktur çünkü l1 ve l2 doğruları paraleldir. Eğer problem şu şekilde değiştirilirse, l1 ve l3 doğrularının kesişimiyle verilen tam olarak bir çözüm olacaktır.

Örnek 2. Bu örnek, çözümü olmayan veya 3B uzayda düz bir çizgi olan bir dizi çözüm içeren üç denklemli bir sistemi göstermektedir.

d2 6= 3 ise, ikinci satır veya denklem 3×3 6= 3 ve x1 6= 1 anlamına gelir. Bu, üçüncü satır veya denklemle çelişir ve bu nedenle denklem sisteminin bir çözümü yoktur. d2 = 3 ise, x3 = 1 ve x2 serbest bir parametredir. İlk satır veya denklem x1 +x2 +1 = 1 veya x1 = −x2’dir. Çözümün vektör şeklidir.

Örnek 4. A’nın bir alt üçgen matris olduğu durumu düşünün. İlk satır veya denklem x1 = 1 verir. Bunu ikinci satırda veya denklemde 1 + 2×2 = 4 ve x2 = 3/2 elde etmek için kullanın. Bu ikisini üçüncü satıra veya denkleme 1(1)+4(3/2)+3×3 =7andx3 =0 olacak şekilde koyun. Bu bilinen bir ileri taramadır.

Örnek 5. A’nın bir üst üçgen matris olduğu durumu düşünün. İlk olarak, son satır veya denklem x3 = 3’ü verir. İkinci olarak, 2×2 + 2(3) = 4 ve x2 = -1 elde etmek için bunu ikinci satırda veya denklemde kullanın. Üçüncüsü, 1(x1) − 1(−1) + 3(3) = 1 ve x1 = -9 elde etmek için bu ikisini ilk satıra veya denkleme koyun. Bu, matrisin bileşenlerinin satırlarla alındığı bir geriye doğru taramayı gösterir.

Transfer fonksiyonu kararlılık
Transfer fonksiyonu formülü
Transfer fonksiyonu Soru çözümleri
Diferansiyel denklemler transfer fonksiyonu
RLC devresi transfer fonksiyonu
S düzleminden z düzlemine geçiş
Blok diyagramı transfer fonksiyonu
Dijital Kontrol Sistemleri Ders notları

Uygulanan Alan

Başlangıçta endüstriyel bir sızıntı olan bir akıntıyı düşünün. Akışın yukarısındaki en uzak noktada, konsantrasyonun zamandan bağımsız olması için nehrin kirlendiğini varsayalım. Akışın akış hızının bilindiğini ve kirleticinin kimyasal bozunma hızının bilindiğini varsayın. Bu ilk sızıntının ve yukarı havza kirliliğinin kısa ve uzun vadeli etkisini belirlemek istiyoruz.

Ayrık model, u(i∆x, (k + 1)∆t)) konsantrasyonunun uk+1 i yaklaşımı için geliştirilmiştir. Ayrık kararlı durum modeli, A’nın bir alt üçgen matris olduğu (2.1.1)’deki gibi yeniden formüle edilebilir. Örneğin, 3 bilinmeyen konsantrasyon varsa, o zaman (2.1.2) i = 1, 2 ve 3 için geçerli olmalıdır.

Akış sağdan sola hareket edecek şekilde akışın hızı negatif ise, u(L, t) verilecek ve elde edilen kararlı durum ayrık modeli üst üçgen olacaktır.

Çözüm u(x) = u(0)e−(yavaş/diş)x’tir. Buharın hızı negatifse (sağdan sola hareket ediyorsa), verilen konsantrasyon un olacaktır, burada n matrisin boyutudur ve elde edilen matris üst üçgen olacaktır.

Model

Genel model, n denklem ve n bilinmeyenden oluşan bir cebirsel sistem (2.1.1) olacaktır. Matrisin üst üçgen formuna sahip olduğunu varsayacağız. Matrisin satır numaraları i ile ilişkilendirilir ve sütun numaraları j ile verilir. A üst üçgen olduğunda Ax = d’nin bileşen formu tüm i’ler içindir. Toplamın artık boş olduğu yerde i = n ayarlanarak bundan faydalanılabilir ve xn için çözülebilir.

Yöntem

Bileşen formundaki son denklem annxn = dn’dir ve dolayısıyla xn = dn/ann’dir. (n − 1) denklemi an−1,n−1xn−1 + an−1,nxn = dn−1’dir ve dolayısıyla xn−1 = (dn−1 − an−1,nxn) için çözebiliriz /an−1,n−1. Bu, her aii’nin sıfır olmaması koşuluyla, tüm xj’ler hesaplanana kadar tekrar edilebilir. Bunu bir bilgisayarda yürütmek için iki döngü olmalıdır: biri denklem (2.1.7) için (i-döngüsü) ve diğeri toplama (j-döngüsü) içindir.

İki versiyon vardır: i-loop’un dışarıda olduğu ij versiyonu ve dışarıda j-loop’un bulunduğu ji versiyonu. ij sürümü, Örnek 5’teki gibi geriye doğru taramanın bir yansımasıdır. İç döngünün, bir sütundan diğerine atlayarak diziden veri aldığına dikkat edin.

Fortran’da bu adım n’dedir ve daha yavaş hesaplama sürelerine neden olabilir. Örnek 6, A sütunlarının katlarını çıkardığımız, döngülerin sırasının değiştirildiği ve A’nın bileşenlerinin A’nın sütunlarında aşağı hareket ettirilerek alındığı ji versiyonunu göstermektedir.

Örnek 6. Aşağıdaki 3 × 3 cebir sistemini düşünün.

Bu ürün aynı zamanda matrisin sütunlarının doğrusal kombinasyonları olarak da görülebilir. İlk olarak, x3 = 20/4 = 5’i çözün. İkinci olarak, problemin boyutunu küçültmek için her iki taraftan son sütun çarpı x3’ü çıkarın. Üçüncüsü, x2 = 5/1 için çözün. Dördüncüsü, ikinci sütun çarpı x2’yi her iki taraftan çıkarın.

Bir üst üçgen matris çözümünün ij ve ji yöntemleri için aşağıdaki MATLAB kodları çok açık olduğundan, bu iki yöntemin resmi bir ifadesini vermeyeceğiz.

The post Kararlı Durum Ayrık Modeller – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri first appeared on Akademi Delisi (Tez Yaptırma).