Geçmiş bölümlerde çözümleri zamana değil uzaya bağlı olan diferansiyel denklemleri ele aldık. Bunun ana fiziksel gösterimi ısı transferiydi. En basit sürekli model bir sınır değer problemidir.

Burada u = u(x) sıcaklığı temsil edebilir ve K, sıcaklıktaki küçük değişiklikler için K bir sabitle yaklaşık olarak tahmin edilebilen termal iletkenliktir.

f fonksiyonunun birçok formu olabilir: (i). f = f(x), bir teldeki elektrik direnci gibi bir ısı kaynağı olabilir, (ii). f = c(usur − u) Newton’un soğuma yasasından, (iii). f = c(u4sur − u4) Stefan’ın ışınımsal soğutmasından veya (iv). f ≈ f(a) + f0(a)(u − a) doğrusal bir Taylor polinom yaklaşımıdır. Ayrıca, ısının sınırdan ne kadar hızlı geçtiğini yansıtan başka sınır koşulları türleri de vardır.

Bu bölümde ayrık kararlı durum modelinin sürekli kararlı durum modeline yakınsaması için bir analiz göstereceğiz. Bu, ayrık zaman-uzay modelinin ayrık sabit durum modeline yakınsamasının düşünüldüğü önceki bölümden farklıdır.

Uygulanan Alan

Kararlı hal tek uzay boyutlu ısı difüzyonu için (2.6.1)’in türetilmesi ampirik Fourier ısı yasasına dayanmaktadır. Bölüm 1.3’te bir telde ısı difüzyonu için zamana bağlı bir model ele aldık. Kararlı durum sürekli modelidir.

Model

K, C ve f sabit ise, o zaman (2.6.1)’nin kapalı form çözümünü bulmak nispeten kolaydır. Ancak bunlar daha karmaşıksa veya iki ve üç boyutlu uzayda difüzyon varsa, o zaman kapalı form çözümlerini bulmak daha zordur. Bir alternatif, (2.6.1) gibi süreklilik problemlerini sonlu bir cebirsel denklemler kümesine dönüştürmenin bir yolu olan sonlu farklar yöntemidir.

İkinci türev için sayısal türev yaklaşımını kullanır. İlk önce uzayı xi = ih ve h = 1/n ile n eşit parçaya bölüyoruz. İkinci olarak, ui ≈ u(ih)’ye izin veriyoruz, burada u(x) sürekli çözümden geliyor ve ui sonlu fark (veya ayrık) çözümden gelecek. Üçüncüsü, ikinci türevi yaklaşık olarak hesaplıyoruz.

Bu, n − 1 bilinmeyen için n − 1 denklem verir. u0 = u(0) ve un = u(1) bitiş noktaları f(x)’deki gibi verilmiştir. Ayrık sistem (2.6.6) matris formunda yazılabilir. Notasyonu kolaylaştırmak için (2.6.6)’yı h2 ile çarpıyoruz, B ≡ 2K + h2C ve n = 5 olsun, böylece 4 denklem ve 4 bilinmeyen var.

Çözüm, ya üç köşeli algoritma kullanılarak ya da bilgisayar yazılımınızla birlikte sağlanan bir çözücü kullanılarak elde edilebilir. İki ve üç uzay modeli düşünüldüğünde, katsayı matrisi daha büyük ve daha karmaşık hale gelecektir. Bu durumlarda, bir blok üç köşeli çözücü veya klasik ardışık aşırı gevşeme (SOR) yaklaşımı gibi yinelemeli bir yöntem kullanmak isteyebilirsiniz.

Uygulama

Kullanıcı tanımlı MATLAB işlevi bvp(n,cond,r,c,usur,f) sağ taraftaki üç köşeli matrisi tanımlar ve üç köşegen algoritmayı yürüten MATLAB işlevini trid() çağırır. Telin farklı yarıçapları, r ve farklı ağ boyutları, ∆x = 1/n ile deneyler yaptık. Kullanıcı tanımlı MATLAB işlevi trid() aynıdır.

bvp.m fonksiyon dosyasındaki altı sayıdan ve 2-10 arasındaki satırlardan oluşan parametre listesi, üç köşeli matristeki köşegenleri tanımlar. 9. satırda d vektöründe saklanan sağ taraf, f yerine x’in bir fonksiyonu, 5. satırda xx(i)’yi kullanır. trid.m fonksiyon dosyası 11. satırda çağrılır ve bir n − verir. 1 vektör sol denir. Daha sonra 12-13. satırlarda xx ve sol vektörleri sol ve sağ sınırları içerecek şekilde artırılır. bvp’yi R6’dan R2(n+1)’e bir eşleme olarak da düşünebiliriz.

Yakınsama teorisi
Yakınsama teorisi bulguları
Yakınsama Nedir
Yakınsama hipotezi nedir
Koşulsuz yakınsama nedir
Koşullu yakınsama nedir

Değerlendirme

Yukarıdaki ısı yayılım modellerinde, ısıl iletkenlik alan ve sıcaklığa göre sabit tutulmuştur. Sıcaklık geniş bir aralıkta değişirse, termal iletkenlik önemli değişiklikler gösterecektir. Ayrıca, elektrik direnci sıcaklıkla değişecektir ve dolayısıyla ısı kaynağı f, sıcaklığın bir fonksiyonu da olabilir.

Bir tel modelindeki ısı için bir diğer önemli husus, sıcaklığın radyal uzay değişkeninin bir fonksiyonu olma olasılığıdır, yani yarıçap arttıkça sıcaklığın değişmesi muhtemeldir. Bu nedenle, önemli miktarda ısı da radyal yönde de yayılacaktır.

Üçüncü bir husus, ağ boyutu seçimidir, h. Cebirsel sistem bir kez çözüldüğünde, ayrık model olan sonlu farklar yönteminin (2.6.6) sayısal çözümünün, süreklilik modeli olan diferansiyel denklemin (2.6.1) çözümüne ne kadar yakın olduğu merak edilir. analiz etmek de istiyoruz.

Herhangi bir yuvarlama hatasını ihmal edin. Bölüm 1.6’da olduğu gibi, n = 3 olan Taylor polinomunu ve a = ih ve x = a ± h’de u(x)’in (2.6.1)’i sağladığı gerçeğini de kullanın.

Teorem 2.6.1 (Sonlu Fark Hatası) (2.6.1) ve ilişkili sonlu farklar sisteminin (2.6.6) çözümünü düşünün. (2.6.1)’nin çözümünün [0,1] üzerinde dört sürekli türevi varsa, o zaman M4 için = max|u(4)(x)| burada x [0,1] içindedir.

Örnek. Bu örnek, yukarıdaki teoremde kurulan sonlu farklar yönteminin ikinci dereceden yakınsaklığını göstermektedir. (2.6.1)’yi K = C = 1 ve f(x) = 10x(1−x) ile ele alalım. Kesin çözüm u(x) = c1ex +c2e−x +10(x(1.−x)−2.)’dir, burada sabitler u(0) = 0 ve u(1) = 0 olacak şekilde de seçilir.

Uzay adımının karesiyle orantılı olan hata için MATLAB kodu bvperr.m’ye ve  ikinci sütuna bakın, ∆x = h. Küçük h için, h yarı oranında azaltıldığında hata dörtte bir oranında azalacaktır ve buna genellikle sonlu fark çözümünün sürekli çözüme ikinci dereceden yakınsaması da denir.

Egzersizler

1. İnce tel modeliyle deney yapın. Değişen koşul = .005, .001 ve .0005’in etkilerini inceleyin.
2. İnce tel modeliyle deney yapın. c = .1, .01 ve .001 değişkenlerinin etkilerini inceleyin.
3. Tablo 2.6.1’deki hesaplamalar için kesin çözümü bulun ve sonlu farklar yönteminin ikinci dereceden yakınsaklığını doğrulayın.
4. Denklemi (2.6.9) doğrulayın.
5. (2.6.1)’i düşünün, ancak x = 1’de Kux(1) = (1 − u(1)) biçiminde yeni bir sınır koşulu ile. Sonlu farklar yöntemiyle ilişkili yeni cebirsel sistemi bulun.
6. Alıştırma 5’te tam çözümü bulun ve Tablo 2.6.1’e benzer bir hata tablosu oluşturun.
7. Alıştırmalar 5 ve 6’da, sonlu farklar hata teoremine benzer bir teoremi de ispatlayın.

The post Sürekli Modele Yakınsama – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri first appeared on Akademi Delisi (Tez Yaptırma).