Bu bölümde üçüncü bir ısı transferi modeli sunuyoruz. İlk modelimizde, Newton’un soğutma yasasının ayrı bir versiyonu aracılığıyla ısı transferini düşündük. Yani, kütlenin uzaya göre homojen bir sıcaklığa sahip olduğunu varsaydık.

Bir önceki bölümde, sıcaklığın hem ayrık zamanın hem de ayrık uzayın bir fonksiyonu olmasına izin vermiştik. Fourier ısı yasası yoluyla telde sola veya sağa doğru yayılan ısı. Telin yan yüzeyinde ısı kaybı veya kazanımı olmaması için telin yan yüzeyinde mükemmel bir şekilde yalıtıldığı varsayılmıştır. Bu bölümde, Newton benzeri bir soğutma kanunu yoluyla ısının yanal yüzeyden kaybolmasına izin vereceğiz.

Model

Hem uzayı hem de zamanı ayrıklaştırın ve sıcaklığın u(ih, k∆t) uki ile yaklaşık olmasına izin verin, burada ∆t = T/maxk, h = L/n ve L telin uzunluğudur. Model genel forma sahip olacaktır.

Bu, hacminin uzunluğu h ve kesiti A = πr2 olan yatay bir silindir olduğu yerde tasvir edilmiştir. Yani yan yüzey alanı h2πr’dir.

Yan yüzeyden ısı kaybının, zamandaki değişimin ürünü, yan yüzey alanı ve çevre sıcaklığındaki fark ve teldeki sıcaklık ile doğru orantılı olduğu varsayılacaktır. İzolasyonu ölçen orantı sabiti csur olsun. Usur, telin çevre sıcaklığı ise, küçük yanal alan yoluyla ısı kaybı olur.

Elektrik akımı gibi bir kaynaktan ve sol ve sağ difüzyondan ısı kaybı veya kazancı önceki bölümde olduğu gibi kalacaktır. Bunları birleştirerek, küçük hacimli Ah için ısı içeriğindeki değişimin aşağıdaki yaklaşıklığını elde ederiz.

Bir Telde Isı Difüzyonu için Açık Sonlu Fark Modeli

Denklem (1.3.4) sıfıra eşit ilk sıcaklık setidir ve (1.3.5) sıfıra eşit ayarlanmış sol ve sağ uçlardaki sıcaklıktır. Denklem (1.3.3), birinci mertebeden sonlu farklar yönteminin matris versiyonuna yerleştirilebilir.

Örneğin, tel dört eşit parçaya bölünürse, n = 4 ve (1.3.3) uk+1,uk+1 ve uk+1 bilinmeyenler için üç skaler denklem olarak yazılabilir.

Algoritmanın kararlı olduğundan emin olmak için zaman adımı ∆t üzerinde önemli bir kısıtlama gereklidir. Örneğin, (1.3.6) denkleminin skaler bir denklem olduğu ve en basit birinci dereceden sonlu fark modeline sahip olduğumuz n = 2 durumunu düşünün.

Burada=1−2α−dandwemusstrequirea<1. Ifa=1−2α−d>0 ve α, d > 0 ise bu koşul geçerli olacaktır. Eğer n 2’den büyükse, bu basit koşul, Ak matris ürünlerinin sıfır matrisine yakınsayacağını ima edecek ve bu analiz sunulacaktır.

Yöntem

(1.3.3)-(1.3.5) denklemleri tarafından oluşturulan uk+1 sayıları, x = i∆x ve t = (k + 1)∆t’deki sıcaklık için umarım iyi i yaklaşımlarıdır. Sıcaklık genellikle u(x, t) fonksiyonu ile gösterilir. Yine uk+1 iki boyutlu bir dizide saklanacaktır, bu da u ile gösterilir, ancak tamsayı indeksleri ile uk+1 = u(i,k+1) ≈ u(i∆x,(k+1) ∆t) = sıcaklık fonksiyonu.

i’nin tümünü uk+1’i hesaplamak için, i-döngüsü (boşluk) i iç döngüsü ve k-döngüsü (zaman) dış döngü olan iç içe bir döngü kullanmalıyız. Bu, u(i, k + 1)’nin önceden hesaplanmış üç u(i-1,k), u(i,k) ve u(i+1,k)’ye bağımlılığı ile gösterilmiştir. 

Değerlendirme

İnce bir teldeki ısı iletimi bir dizi yaklaşıma sahiptir. Zaman veya uzay değişkenindeki farklı ağ boyutları, farklı sayısal sonuçlar verecektir. Ancak, kararlılık koşulları devam ederse ve ağ boyutları küçülürse, sayısal hesaplamalar daha küçük miktarlarda farklılık gösterecektir.

Sayısal model, telin yüzeyinin termal olarak yalıtılmış olduğunu varsayıyordu. Durum böyle olmayabilir ve Newton’un soğutma yasasının ayrık versiyonu, r’nin telin yarıçapı olduğu yerde C(usur − uki )h π2r∆t’nin negatif bir kaynak terimi eklenerek kullanılabilir.

Sonlu farklar yöntemi örnekler
Sonlu farklar yöntemi nedir
SONLU FARKLAR yöntemi ders Notları
SONLU farklar yöntemi SAYISAL ANALİZ
Sonlu farklar yöntemi ingilizce
SONLU FARKLAR
Sonlu farklar yöntemi ısı transferi
Kısmi diferansiyel denklemler sonlu farklar yöntemi

C sabiti, C = 0’ın mükemmel yalıtıma karşılık geldiği bir yalıtım ölçüsüdür. hπ2r, A = πr2 olan hA hacminin yan yüzey alanıdır. Modeldeki diğer varyasyonlar, daha karmaşık sınır koşullarını, değişken termal özellikleri ve birden fazla yönde difüzyonu içerir.

Birinci mertebeden sonlu fark modellerinin skaler versiyonunda şema |a| < 1. Bu durumda, uk+1 kararlı hal çözümüne yakınsar u = au + b. Bu, kararlılık koşulunun sağlanması koşuluyla (1.2.1)’in matris versiyonu için de geçerlidir. Bu durumda a reel sayısı A matrisi ile değiştirilecek ve Ak sıfır matrisine yakınsayacaktır. Aşağıdakiler bunun daha genel bir ifadesidir.

Teorem 1.2.1 (Kararlı Hal Teoremi) A’nın bir kare matris olduğu uk+1 = Auk +b birinci mertebeden sonlu fark denkleminin matris versiyonunu düşünün. Ak sıfır matrisine yakınsarsa ve u = Au+b ise, u0 için ilk seçimden bağımsız olarak uk, u’ya yakınsar.

Egzersizler

1. MATLAB kodunu kullanarak heat.m kopyalayın.
2. Isı.m’de maxk = 120 olsun ki dt = 150/120 = 1.25 olsun. Deney
sırasıyla dx = .2, .1, .05 ve n = 5, 10, 20 boşluk adım boyutları ile.
3. Isı.m’de n = 10 olsun, böylece dx = .1 olsun. Sırasıyla dt = 5, 2.5, 1.25 ve maxk = 30, 60 ve 120 zaman adımı boyutlarıyla deney yapın.
4. Isıl iletkenlik kond = .002, .001 ve .0005 farklı değerlerle heat.m deneyinde. Stabilite koşulunun sağlanması için zaman adımını ayarladığınızdan emin olun.
5. Telin yüzeyinden ısının kaybolduğu ince tel üzerindeki varyasyonu düşünün. heat.m’yi değiştirin ve C ve r parametreleriyle deney yapın. Hesaplanan sonuçlarınızı açıklayın.
6. Isının f = 1 + sin(π10t) tarafından üretildiği ince tel üzerindeki varyasyonu düşünün. heat.m’yi değiştirin ve parametrelerle deney yapın.
7. (1.2.1) için 3×3 A matrisini düşünün. Kararlılık koşulunun geçerli olması veya olmaması için farklı alfa değerleri için k = 10, 100, 1000 için Ak’ı hesaplayın.
8. Diyelim ki n = 5 4 bilinmeyen var. Sonlu fark modelinin (1.2.1) 4 × 4 matris versiyonunu bulun. Karşılık gelen 4 × 4 matris için önceki problemi tekrarlayın.
9. Durağan Durum Teoreminin ispatında görüntülenen denklemlerdeki ikinci ve üçüncü satırları yaslayın.
10. Durağan Durum Teoreminin, b sütun vektörünün zamana bağlı olduğu, yani b’nin bk ile değiştirildiği bir varyasyonunu düşünün. Bu teoremin bir genellemesini formüle edin ve kanıtlayın.

Az İzolasyonlu Bir Telde Difüzyon

Bu bölümde, yan yüzeyinde termal olarak yalıtılmamış ince bir elektrik telindeki ısı difüzyonunu ele alacağız. Sıcaklık modeli yine uk+1 = Auk + b biçiminde olacaktır, ancak A matrisi ve b sütun vektörü, önceki bölümdeki yalıtılmış yan yüzey modelinden farklı olacaktır.

The post Açık Sonlu Fark Modeli – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri first appeared on Akademi Delisi (Tez Yaptırma).