Bilim ve mühendislikte ele alınan çeşitli fenomenler, genellikle süreklilik mekaniği modelleri kullanılarak formüle edilen diferansiyel denklemler cinsinden tanımlanır. Diferansiyel denklemleri sınır veya başlangıç koşulları gibi çeşitli koşullar altında çözmek, fenomenin anlaşılmasına yol açar ve fenomenin geleceğini tahmin edebilir.

Bununla birlikte, diferansiyel denklemler için kesin çözümler elde etmek genellikle zordur. Diferansiyel denklemler için yaklaşık çözümler elde etmek için sayısal yöntemler benimsenmiştir. Bu sayısal yöntemlerden sonsuz serbestlik dereceli sürekliliğe sonlu serbestlik dereceli ayrık bir cisimle yaklaşan yöntemlere “ayrık analiz” denir.

Popüler ayrık analizler, sonlu farklar yöntemi, ağırlıklı artıklar yöntemi ve Rayleigh-Ritz yöntemidir. Bu ayrık analiz yöntemleri aracılığıyla, diferansiyel denklemler eşzamanlı lineer cebirsel denklemlere indirgenir ve böylece sayısal olarak çözülebilir.

Bu bölümde öncelikle ağırlıklı artıklar yöntemi ve sonlu elemanlar yöntemine (FEM) temel oluşturan Rayleigh-Ritz yöntemi tek boyutlu sınır değer problemlerinden örnekler alınarak açıklanacak ve ardından sonuçlar daha derin bir elde etmek için tek boyutlu  haline bakılır.

Ağırlıklı Artıklar Yöntemi

Diferansiyel denklemler genellikle ilgi alanlarına ait herhangi bir noktada sağlanacak şekilde formüle edilir. Ağırlıklı artıklar yöntemi, bir diferansiyel denklemin yaklaşık çözümünü ū belirler, öyle ki yaklaşık fonksiyonun diferansiyel denkleminin ağırlıklı hatasının ilgili bölge üzerindeki ū integrali sıfırdır.

Başka bir deyişle, bu yöntem ilgili bölge üzerinden ilgili diferansiyel denklemi ortalama olarak sağlayan yaklaşık çözümü belirler.

L doğrusal bir diferansiyel operatör olduğunda, f(x) x’in bir fonksiyonu ve ua ve ub uç noktalarda veya D bölgesinin tek boyutlu sınırlarında ilgilenilen bir u(x) fonksiyonunun değerleri. u be fonksiyonunun yaklaşık bir çözümünü varsayalım.

Ağırlıklı artıklar yöntemi u ̄’yi öyle belirler ki, keyfi fonksiyonlar wi (i = 1, 2, … , n) ile ağırlıklandırılmış ilgili bölge üzerindeki hata R’nin integrali sıfır, yani Denklemdeki ai katsayıları ( () 1.2) aşağıdaki denklemi sağlayacak şekilde belirlenir.

Rayleigh – Ritz Yöntemi

Belirli bir diferansiyel denkleme eşdeğer bir fonksiyonel mevcut olduğunda, Rayleigh-Ritz yöntemi kullanılabilir. Kütlesi M olan bir parçacığın yerçekimi kuvveti altında dikey bir düzlemde bir eğri boyunca P0 noktasından P1 alt noktasına kaydığı örnek problemi ele alalım.

Parçacığın P0 noktalarından P1 noktasına kayması için ihtiyaç duyduğu t süresi, iki noktayı birleştiren y(x) ile gösterilen eğrinin şekline göre değişir. Yani, t süresi, bağımsız bir x değişkeninin y(x) işlevi tarafından belirlenen bir tür t = F[y] işlevi olarak düşünülebilir.

F[y] fonksiyonunun fonksiyonuna fonksiyonel denir. Belirli bir fonksiyonelin maksimumunu veya minimumunu belirleme yöntemine varyasyonel yöntem denir. Bu durumda yöntem, parçacığın P0’dan P1’e kaydığı olası minimum süre tmin’i veren y(x) eğrisinin şeklini belirler.

Sanal iş ilkesi veya katı mekaniği alanındaki minimum potansiyel enerji, fonksiyonel minimum veya maksimum yapan fonksiyonun varlığını garanti eden varyasyonel ilkelerden biridir. Kararsız termal iletkenlik problemleri ve viskoz akış problemleri için, varyasyon ilkesi oluşturulamaz; böyle bir durumda, bunun yerine artıkları ağırlıklandırma yöntemi benimsenebilir.

Şimdi [u], Denklem (1.1)’deki diferansiyel denklemin eşdeğeri olan fonksiyonel olsun. Rayleigh–Ritz yöntemi, u(x)’in yaklaşık çözümünün ū(x)’in aşağıdaki denklemde gösterildiği gibi deneme fonksiyonlarının φi lineer bir kombinasyonu olduğunu varsayar.

sonlu elemanlar yöntemi ders notları (pdf)
SONLU Elemanlar Yöntemi konu anlatımı
Sonlu elemanlar yöntemi İngilizce
Sonlu elemanlar yöntemi İnşaat Mühendisliği
SONLU elemanlar analizi PDF
Sonlu elemanlar analizi Ders Notları
Sonlu elemanlar yöntemi
Sonlu elemanlar yöntemi programları

ai (i = 1, 2, . . . , n) keyfi sabitler olduğunda, φi a ≤ x ≤ b için sürekli birinci dereceden türevlere sahip olan ve aşağıdaki sınır koşulları sağlanacak şekilde seçilen C0 sınıfı fonksiyonlardır.

Denklemdeki yaklaşık çözüm u ̄(x), fonksiyonel [u]’nun durağan değer almasını sağlayan fonksiyondur ve kabul edilebilir fonksiyon olarak adlandırılır.

Daha sonra, Denklem’i fonksiyonele yerleştirdikten sonra fonksiyoneli entegre ederek, ai sabitleri durağan koşullar tarafından belirlenir.

Rayleigh–Ritz yöntemi, ai sabitlerini Denklemde değiştirerek u ̄(x) yaklaşık çözümünü belirler. Genel olarak, yaklaşık çözüm u ̄(x) ile kesin çözüm u(x) arasındaki mesafeyi minimum yapacak şekilde ai katsayılarını belirleyen bir yöntem olarak anlaşılır.

Denklem tarafından açıklanan sınır-değer problemini Rayleigh-Ritz yöntemiyle yeniden çözelim. Denklemin birinci denkleminin fonksiyonel karşılığı yazılır.

Denklem sezgiyle elde edilir, ancak Denklem’in gerçekten Denklem’in ilk denkleminin fonksiyonelini şu şekilde verdiği gösterilmiştir: önce, ”nin durağan değerini elde etmek için Denklem’in ilk varyasyonunu alalım.

δ = 0 durağan koşulunu sağlamak için, Denklemin en sağ tarafı dikkate alınan aralıkta (a ≤ x ≤ b) aynı şekilde sıfır olmalıdır. Bu, Denklemin ilk denklemiyle tamamen aynıdır. Şimdi, aşağıdaki birinci dereceden yaklaşık çözümü u ̄1 ele alalım.

Sonlu Eleman Yöntemi

FEM’in formülasyonu için iki yol vardır: biri doğrudan varyasyon yöntemine (Rayleigh-Ritz yöntemi gibi) ve diğeri ağırlıklı artıklar yöntemine (Galerkin yöntemi gibi) dayanır.

Varyasyon yöntemine dayalı formülasyonda, sınır-değer problemleri için temel denklemler fonksiyonelin durağan koşullarından türetilir. Bu formülasyon, fonksiyonelleri türetme sürecinin gerekli olmaması gibi bir avantaja sahiptir.

Ağırlıklı kalıntılar yöntemine dayalı olarak FEM’i formüle etmek için Wasy. Bununla birlikte, varyasyonel yönteme dayalı formülasyonda, virtüel iş ilkesi veya minimum potansiyel enerji ilkesi gibi varyasyonel ilkelerin önceden belirlenmiş olduğu durum dışında fonksiyoneli türetmek genellikle zordur. katı mekaniği alanı.

Burada, yöntemine dayalı FEM için temel denklemlerin nasıl türetileceğini açıklayacaktır. Şimdi, yaklaşık bir u ̄ çözümünün, her bir alt bölgede düz bir çizgi oluşturan parçalı doğrusal bir fonksiyonla ifade edilebileceğini varsayalım.

Burada ui, bir sınır noktasında “e” öğesindeki u değerini veya iki tek boyutlu öğe arasındaki “i” düğüm noktasını temsil eder. Ni(x) fonksiyonları aşağıdaki parçalı lineer fonksiyonlardır ve düğüm noktasının enterpolasyon veya şekil fonksiyonları olarak adlandırılırlar.

Enterpolasyon işlevi olarak, genellikle parçalı doğrusal veya karesel işlev kullanılır. Genel olarak konuşursak, ikinci dereceden enterpolasyon işlevi doğrusal olandan daha iyi çözümler verir.

FEM’de, u(x)’in i’inci düğüm noktasındaki bilinmeyen değişkenleri ui ve du/dx, (du/dx)i türevlerinin bilinmeyen değişkenleri için bir dizi eşzamanlı cebirsel denklem Denklem parça parça integre edilerek ve sonra alınarak türetilir. sınır koşulları dikkate alınır.

Eşzamanlı denklemler, dikkate alınan bölgedeki tüm düğüm noktalarında bilinmeyen ui ve (du/dx)i değişkenlerini belirlemek için dijital bilgisayarlar tarafından kolayca çözülebilir.

The post Sonlu Elemanlar Yöntemi– ANSYS Yazılım – ANSYS Analizi Yaptırma Fiyatları – ANSYS Analizi Örnekleri – Ücretli ANSYS Analizi Yaptırma – ANSYS Yazılımı Yaptırma first appeared on Akademi Delisi (Tez Yaptırma).