Bu ve sonraki bölümde 2B olarak iki akışkan akış modeli sunuyoruz: gözenekli bir ortamda akış ve ideal akışkanlar. Bu modellerin her ikisi de kararlı durum 2D ısı difüzyonuna benzer. Gözenekli ortam akışı, Fourier’in ısı yasasına benzeyen Darcy yasası adı verilen deneysel bir yasayı kullanır. Bu modelin yeraltı suyu yönetimine bir uygulaması incelenecektir. 

Uygulanan Alanı

Her iki uygulamada da sıvının hızının (u(x, y), v(x, y), 0) olduğunu, yani 2B sabit durumlu bir sıvı akışı olduğunu varsayalım. Hem gözenekli bir ortam hem de ideal akışkan için akışlarda, akışkanın sıkıştırılabilirliğinin matematiksel bir tanımını yapabilmek faydalıdır. Akışkanın sıkıştırılabilirliği, hızın sapması ile ölçülebilir. 2B’de (u,v)’nin diverjansı ux + vy’dir.

Bu, belirli bir zaman biriminde küçük bir hacme ne kadar kütle girdiğini gösterir. Bunu anlamak için, Şekil 3.3.1’de gösterildiği gibi, yoğunluğu ρ olan ve sonlu farklarla yaklaşık ux + vy olan küçük ince dikdörtgen kütleyi düşünün. Zamandaki değişim ∆t olsun, öyle ki u(x + ∆x, y)∆t, kütlenin ön yüzünü terk eden (u(x + ∆x, y) > 0 için) kütlenin x yönündeki değişime yaklaşsın.

Akışkan sıkıştırılamazsa, o zaman ux + vy = 0. En az bir kuyusu olan sığ, doymuş gözenekli bir ortam düşünün. Bölgenin xy düzleminde olduğunu ve suyun kuyuya doğru hız vektörü xy düzleminde olacak şekilde hareket ettiğini varsayalım. xy bölgesinin üst ve alt kısmında bu sınırlardan akış olmadığını varsayalım.

Bununla birlikte, basıncın sabitlenmesi için sol ve sağ sınırlardan bol miktarda besleme olduğunu varsayalım. Problem, kuyu(lar)ın debilerini, kuyu(lar)ın yerini ve kuyu sayısını belirlemektir, böylece pompalanacak hala su vardır. Bir hücrede kuyu yoksa ve iç kısımdaysa ux + vy = 0. Hücrede kuyu varsa o zaman ux+vy <0.

Model

Hem gözenekli hem de ideal akış modelleri, 2B ısı difüzyon modeline benzer bir kısmi diferansiyel denkleme sahiptir, ancak üçünün de farklı sınır koşulları vardır. Gözenekli akışkan akış problemleri için, sınır koşulları ya sınırın bir kısmı boyunca verilen bir fonksiyondur ya da sınırın diğer kısımları için bir sıfır türevidir. Akışkanın hareketi, Darcy yasası adı verilen ampirik bir yasa tarafından yönetilir.

Hidrolik iletkenlik basınca bağlıdır. Ancak, gözenekli ortam doymuş ise, sabit olduğu varsayılabilir. Basınç için aşağıdaki kısmi diferansiyel denklemi elde etmek için Darcy yasasını hız diverjansı ile çiftleyin.

Yöntem

SOR yinelemeli şema ile birleştirilmiş sonlu farklar yöntemini kullanacağız. İç kısımdaki (∆x∆y) hücreleri için bu, 2D ısı difüzyon problemine benzer. Bir yarım hücrede (∆x/2 ∆y) veya (∆x ∆y/2)’de olduğu gibi bir türevin sıfıra eşit olduğu sınır kısımları için, SOR döngüsüne bazı ek kodlar ekleriz. Örneğin, yarım hücrede (∆x ∆y/2) y = W’de hy = 0 olan yeraltı suyu modelini düşünün. (3.3.5)’de u = h , dx = ∆x ve dy = ∆y için ve (3.3.6)’da SOR kodunun karşılık gelen satırı için sonlu fark denklemleri vardır.

Reynolds sayısı ve akış Türleri
Silindir içerisinde oluşan akış tipleri
Laminer ve türbülanslı akış arasındaki farklar
Newton viskozite yasası
Laminer ve türbülanslı akış için Reynolds sayısı nasıl bulunur
Laminer akış
Akışkanlar mekaniği Borularda akış
Reynolds formülü

Uygulama

Aşağıdaki MATLAB kodu por2d.m’de, kararlı durum doymuş 2B yeraltı suyu gözenekli akışı için ayrık modeli çözmek için SOR yöntemi kullanılır. 1-44. satırlar verileri başlatır. 6. satırda eps, 7. satırda SOR parametresi ww, 9.10. satırda nx ve ny, 12-16. satırlarda verilen kuyuların konumu ve akış hızları ve akış alanının boyutu ile deney yapmak ilginçtir. 28,29. satırlarda verilmiştir.

37. satırda R_well ağdan bağımsız olacak şekilde kalibre edilmiştir. SOR yinelemesi, 51-99 satırlarındaki while döngüsünde yapılır. Akış sınır koşullarının olmadığı 73-85 numaralı hatlardaki alt düğümler ve 86-97 numaralı hatlardaki üst düğümler, 53-71 numaralı hatlardaki iç düğümlerden farklı şekilde ele alınmalıdır.

İki kuyunun yerleri 58-63. satırlardaki if ifadeleriyle verilmiştir. Çıktı, yakınsama için yineleme sayısının ve SOR parametresinin yazdırıldığı ve basıncın yüzey ve kontur grafiklerinin MATLAB komutu meshc(x,y,u’) tarafından grafiklendirildiği 101-103 satırlarındadır. Benzer bir kod, Fortran 9x’te yazılmış por2d.f90’dır.

Grafik çıktısı, iki kuyunun olduğu ve basıncın 100’den 45’e düştüğü Şekil 3.3.3’te verilmiştir. Bu, 199 SOR yinelemesi gerektirmiştir ve SOR parametresi w = 1.97, sayısal deneylerle bulunmuştur. Bu sayısal yaklaşım, 6. satırdaki SOR yakınsama kriterleri eps = .01’in çok büyük olması veya satır 9 ve 10’daki ağ boyutunun çok büyük olması nedeniyle önemli hatalara sahip olabilir.

eps = .001 ise, 270 SOR yinelemesi gereklidir ve çözüm çok fazla değişmemiştir. Eğer eps = .001 ise, ny 20’den 40’a iki katına çıkar ve jw ve jwp de iki katına çıkar, böylece kuyular uzayda aynı konumda bulunursa, 321 SOR yinelemesi hesaplanır ve grafiklerde çok az fark not edilir.

Her iki kuyudaki debi 250’den 500’e çıkarılırsa, basınç düşmelidir. Eps = .001, nx = 50 ve ny = 40 için 346 SOR yinelemesinde yakınsama elde edildi ve grafik, ikinci kuyudaki basıncın negatif olduğunu gösteriyor, bu da kuyunun kuruduğunu gösteriyor!

Değerlendirme

Bu gözenekli akış modeli, birçok gerçek uygulamayı dışlamak için yeterli varsayıma sahiptir. Yeraltı suyu problemleri için, zeminler genellikle tamamen doygun değildir ve hidrolik iletkenlik, zemin tiplerine göre oldukça doğrusal olmayabilir veya boşlukla değişebilir.

Genellikle topraklar çok heterojendir ve toprak özellikleri bilinmemektedir. Gözenekli akışlar, 3B hesaplamalar ve düzensiz şekilli alanlar gerektirebilir. İyi haber şu ki, daha karmaşık modellerin, doymuş gözenekli ortamda ısı difüzyonu ve sıvı akışına ilişkin mevcut modellerimize benzer birçok alt problemi var.

Egzersizler

1. Yeraltı suyu sorununu düşünün. w ve eps seçimiyle denemeler yapın. Yakınsama için gereken yineleme sayısını gözlemleyin.
2. nx ve ny ağ boyutları ile deney yapın ve ayrık problemin sürekli probleme yakınsadığına kendinizi ikna edin.
3. Yeraltı suyu sorununu düşünün. Fiziksel parametreler K = koşul, W, L ve pompa hızı R = R_kuyu ile deney yapın.
4. Yeraltı suyu sorununu düşünün. Kuyuların sayısı ve yeri ile deney yapın.

The post Akışkan Akış Modeli – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri first appeared on Akademi Delisi (Tez Yaptırma).