Bu bölüm, bir ila iki boyutlu kararlı durum uzay modellerinden bir uzantıdır. Bunların ayrık versiyonlarının çözümü, çeşitli yinelemeli yöntemlerle yaklaşık olarak tahmin edilebilir ve burada, ardışık aşırı gevşeme ve eşlenik gradyan yöntemleri uygulanacaktır.

Üç uygulama alanı iki yönde difüzyon, iki yönde ideal ve gözenekli akışkan akışları ve kararlı durum membran probleminin deformasyonudur. Membran probleminin modeli, potansiyel enerjiyi en aza indirmek için zarın şeklini gerektirir ve bu, eşlenik gradyan yönteminin formülasyonunu motive etmeye hizmet eder.

Kararlı Durum ve Yinelemeli Yöntemler

Birden fazla yöndeki ısı akışı modelleri, büyük ve üç köşeli olmayan matrisler üretecektir. Büyük depolama ve işlem sayısı gerektiren Gauss eliminasyonunun tam sürümünün alternatifleri yinelemeli yöntemlerdir.

Bunlar genellikle daha az depolama gerektirir, ancak çözüme yaklaşmak için gereken yineleme sayısı, belirli yöntemin tolerans parametresine göre değişebilir. Bu bölümde en temel yinelemeli yöntemleri sunuyoruz.

Bu yöntemler, sıfırdan farklı modellerin çok sistematik olduğu seyrek (birçok sıfır bileşenli) matrisler için kullanışlıdır. Önceden koşullandırılmış eşlenik gradyan (PCG) veya genelleştirilmiş minimum kalıntı (GMRES) gibi diğer yinelemeli yöntemler özellikle yararlıdır ve bunları daha sonra tartışacağız.

Uygulanan Alan

Önceki bölümdeki soğutma kanadı problemini ele alalım, ancak burada cebirsel sistemi çözmek için yinelemeli yöntemleri kullanacağız. Ayrıca kalınlık, T ve genişlik, W gibi kanatçık parametrelerinin değiştirilmesinin etkilerini inceleyeceğiz. Cebirsel problemi  gibi üç köşeli algoritma ile çözmek yerine, çözüm yinelemeli olarak bulunacaktır.

Bir yönde difüzyonlu bir model düşündüğümüz için, katsayı matrisi üç köşegen olacaktır. Bu nedenle tercih edilen yöntem üç köşeli algoritmadır. Burada yinelemeli yöntemlerin kullanılmasının amacı, onları birden fazla yöne sahip modellere uygulamalarının çözülebilmesi için basitçe tanıtmaktır.

Model

u(x) sadece bir yönde önemli difüzyon ile bir soğutma kanadındaki sıcaklık olsun. C = ((2W + 2T )/(T W ))c ve f = Cusur ile gösterimi kullanın. Sürekli model, aşağıdaki diferansiyel denklem ve iki sınır koşulu ile verilmektedir.

(3.1.3)’deki sınır koşuluna genellikle türev veya akı ya da Robin sınır koşulu denir. ui, h = L/n olmak üzere u(ih)’nin bir yaklaşımı olsun. ux(ih + h/2) türevini (ui+1 − ui)/h ile yaklaşıklaştırın. Daha sonra (3.1.1) ve (3.3.3) denklemleri, sürekli modelin ayrık bir modeli olan sonlu fark yaklaşımını verir.

Yöntem

Bu yinelemeli algoritmaların tanımını motive etmek için, aşağıdaki3×3örneği u0 =0,u4 =0ve göz önünde bulundurun. Köşegen bileşen en büyük olduğundan, ui−1 ve ui+1’in önceki tahminler veya hesaplamalar olmasına izin vererek ve ardından yeni kullanıcı arabirimini yukarıdaki denklemden hesaplayarak bir yaklaşıklık yapılabilir.

Sağ taraftaki m + 1’e dikkat edin. Bu yöntem Jacobi yönteminden farklıdır çünkü en son hesaplanan değerler kullanılır. Tüm i düğümleri için çok az değişiklik olana kadar bunu tekrarlayın.

Gauss-Seidel algoritması genellikle Jacobi yönteminden çok daha hızlı yakınsar. Herhangi bir matris için her iki yöntemi de tanımlayabilmemize rağmen, yöntemler yakınsak olabilir veya olmayabilir. Yakınsasa bile, bunu çok yavaş yapabilir ve çok az pratik kullanımı olabilir. Neyse ki, ısı iletimine benzer birçok problem için bu yöntemler ve varyasyonları etkin bir şekilde yakınsar.

Poisson denklemi
Laplace denklemi
Poisson denklemi çözümü
Laplace denklemi nasıl çözülür
Kutupsal koordinatlarda Laplace denklemi
Laplace formülü
Laplasyen Nedir
Laplace denklemini sağladığını gösteriniz

Gauss-Seidel yönteminin bir varyasyonu, ivme parametresi ω olan ardışık aşırı gevşeme (SOR) yöntemidir. Burada ω parametresinin seçimi, yakınsamanın mümkün olduğu kadar hızlı olması için 1 ile 2 arasında olmalıdır.

Çok özel matrisler için, bu tür optimal ω formülleri vardır, ancak genellikle optimal ω, deneyim sayesinde tahmin edilir. Ayrıca ilk tahmin, çözüme mümkün olduğunca yakın olmalıdır ve bu durumda, modellenen fiziksel problem tarafından dikte edilen çözümün doğasına güvenilebilir.

Yakınsama için bir dizi test vardır. Yaygın bir test, her bir düğümde birbirini izleyen iki yinelemenin mutlak değerinin belirli bir küçük sayıdan küçük olup olmadığını belirlemektir. Bu yakınsama karakterize etmez! Aşağıdaki harmonik serinin kısmi toplamları dizisini göz önünde bulundurun.

Not xm+1 − xm = 1/(m + 1) sıfıra gider ve xm sonsuza gider. Dolayısıyla, yukarıdaki yakınsama testi yanıltıcı olabilir. Olası yakınsama için dört yaygın test; mutlak hata, bağıl hata, artık hata ve bağıl artık hatadır. Artık r(xm+1) = d − Axm+1 olsun ve xm, Ax = d için çözümün yaklaşıkları olsun.  Uygun bir norm olsun ve 􏰀i > 0 uygun şekilde küçük hata toleransları olsun. Mutlak, göreli, artık ve bağıl artık hatalar sırasıyla yapılır.

Genellikle bunların bir kombinasyonu, yinelemeli bir yöntemin ne zaman sonlandırılacağını belirlemek için kullanılır. Bu yinelemeli yöntemlerin çoğu uygulamasında matris seyrektir. Sonuç olarak, toplamlardaki hesaplamaları azaltmak için sıfır deseni kullanılmaya çalışılır.

Toplamın, matrisin bileşenlerinin sıfır olduğu kısımların yapılmaması çok önemlidir. Ayrıca, genellikle tüm hesaplamaları saklamak gerekli değildir. Jacobi’nin algoritmasında iki n×1 sütun vektörüne ihtiyaç vardır ve SOR algoritmasında sadece bir n×1 sütun vektörü gereklidir.

Uygulama

Soğutma kanadı problemi, SOR yinelemeli yöntemiyle değiştirilen üç köşeli algoritma ile yeniden ele alınmıştır. SOR, Jacobi’den çok daha hızlı yakınsamasına rağmen, üç köşeli problemler için üç köşegen algoritması kullanılmalıdır. SOR parametresinin bir fonksiyonu olarak SOR yönteminin yakınsamasını göstermek için bazı hesaplamalar yapılır, ω. Ayrıca, kanatçık kalınlığı T değişkenli sayısal deneyler yapılmıştır.

Açıklanan MATLAB kodu fin1d.m, aşağıdaki kullanıcı tanımlı MATLAB işlevi sorfin.m’yi çağırmak için kullanılacaktır. 38. satırdaki fin1d.m’de u = trid(n,a,b,c,d) [u,m,w] = sorfin(n,a,b,c,d) ile değiştirilmelidir, burada çözüm u vektörü tarafından verilir, m yakınsama için gerekli SOR adımlarının sayısıdır ve w SOR parametresidir.

sorfin.m’de SOR yönteminin doğruluğu, 7. satırdaki eps tolerans veya hata parametresi ve 8. satırdaki w SOR parametresi tarafından kontrol edilecektir. İlk tahmin, 10-12. satırlarda verilmiştir. SOR yöntemi, m’nin döngü indeksi olduğu 13-39 satırlarındaki while döngüsünde yürütülür. Hata testini karşılayan düğüm sayısı sayacı 14. satırda başlatılır ve 20, 28 ve 36. satırlarda güncellenir.

SOR, sol düğüm için 15-21 satırlarda, iç düğümler için 22-30 satırlarda ve sağ düğüm için 31-37 satırlarda yapılır. Her üç durumda da bilinmeyenlerin m + 1 yinelemesi, bilinmeyenlerin m. yinelemesinin üzerine yazar. Hata testi, ardışık yinelemeler arasındaki farkın mutlak değerinin eps’den küçük olmasını gerektirir. Numi n’ye eşit olduğunda, while döngüsü sonlandırılacaktır. Döngü sayacı m çok büyükse, bu durumda maksm = 500’den büyükse while döngüsü de sonlandırılacaktır.

The post Poisson Denklemi Modelleri – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri first appeared on Akademi Delisi (Tez Yaptırma).