Yan yüzeyinde ısıl olarak yalıtılmış ve L uzunluğuna sahip ince bir telde ısı iletimi sorununa dönüyoruz. Daha önce, sıcaklığın hem zamana hem de uzaya bağlı olduğu bu problem için açık yöntemi kullandık. Gözlemlediğimiz hesaplamalarda, kararlılık koşulu sağlandığında zamana bağlı çözüm, kararlı hal çözümü dediğimiz zamandan bağımsız çözüme yakınsar.

Kararlı hal çözümleri, yine Fourier’in ısı yasasından türetilen modellere karşılık gelir. Şimdiki fark, ısı içeriğindeki zamana göre değişimin sıfır olmasıdır. Ayrıca, sıcaklık sadece uzayın bir fonksiyonudur, öyle ki ui ≈ u(ih) burada h = L/n olur.

A ince telin kesit alanı ve K termal iletkenlik olsun, böylece küçük hacim Ah için ısı içeriğindeki değişimin yaklaşık değeri olsun. Şimdi, Ah∆t’ye bölün, β = K/h2 olsun ve n − 1 bilinmeyen yaklaşık sıcaklıklar ui için aşağıdaki n−1 denklemlerine sahibiz.

Denklem (2.2.3), sıfıra eşit olarak ayarlanmış sol ve sağ uçlardaki sıcaklıktır. Ayrık model (2.2.2)-(2.2.3), sürekli modelin (2.2.4)-(2.2.5) bir tahminidir. Kısmi diferansiyel denklem (2.2.4), ui’nin u(ih) ile değiştirilmesi, Ah ∆t’ye bölünmesi ve h ve ∆t’nin sıfıra gitmesine izin verilmesiyle (2.2.1)’den türetilebilir.

Kararlı Hal Isı Difüzyonu için Sürekli Model

Sonlu fark modeli, matrisin üç köşeli bir matris olduğu matris biçiminde yazılabilir. Örneğin, n = 4 ise, o zaman teli dört eşit parçaya bölüyoruz ve uç sıcaklıkları sıfıra eşit olarak ayarlanmış 3 bilinmeyen olacaktır.

Telin uzunluğunun h = 1/4 ve termal iletkenliğin .001 olması için 1 olduğunu varsayalım. O zaman β = .016 ve eğer fi = 1 ise, o zaman tüm satırları β’ya bölerek ve sahip olduğumuz artırılmış matris notasyonunu kullanır.

Ayrık modelin yukarıdaki çözümleri, x = 1∆x, 2∆x ve 3∆x olmak üzere sürekli model u(x)’nin bir yaklaşımı olmalıdır. 3 × 3 katsayısı A’nın LU çarpanlarına ayırma biçimine sahip olduğuna dikkat edin.

Yöntem

Genel Gauss eleme yöntemi, artırılmış matrisin oluşturulmasını, problemi üst üçgen biçime dönüştürmek için ileriye doğru bir tarama ve bu üst üçgen sistemi çözmek için geriye doğru bir tarama gerektirir. Üst üçgen sistemi oluşturmak için gereken satır işlemleri sistematik bir şekilde yapılmalıdır:

(i). Arttırılmış matrisin 1. sütunu ve 1. satırı ile başlayın. 1. satırın uygun bir katını kullanın ve i > 1 ile 1. sütundaki (i,1) konumunda sıfır almak için i satırından çıkarın.
(ii). Genişletilmiş matrisin yeni sürümünün 2. sütununa ve 2. satırına gidin. Aynı şekilde, i > 2 ile 2. sütunun her (i, 2) konumunda sıfır almak için satır işlemlerini kullanın.
(iii). Sonraki artırılmış matrislerin sol alt kısmındaki tüm bileşenler sıfır olana kadar bunu tekrarlayın.

Bu, (i,j) bileşeninin sıfıra ayarlanacağı gösterilmektedir.

Gauss Eliminasyon Algoritması

Yukarıdaki açıklama tam değil. İleri taramada yuvarlama hatalarıyla ilgili daha fazla ayrıntı ve özel hususlar önemlidir. Örneğin, iç döngüdeki satır işlemleri, satırların bazı permütasyonları olmadan mümkün olmayabilir.

Bununla ilgili daha fazla ayrıntı bulunabilir. Geriye doğru tarama, yalnızca üst üçgen çözme adımıdır ve bunun iki versiyonu önceki bölümde incelenmiştir. İleri taramayı yürütmek için gereken kayan nokta işlemlerinin sayısı yaklaşık olarak n3/3’e eşittir, burada n bilinmeyenlerin sayısıdır. Yani, bilinmeyenlerin sayısı iki katına çıkarsa, işlem sayısı sekiz kat artacaktır!

Gauss Eliminasyon Yöntemi örnek Soru
Gauss Eliminasyon yöntemi Soru çözümü
Nümerik Analiz Gauss eliminasyon yöntemi
Gauss Yok etme Metodu konu anlatımı
Gauss-Jordan elimination
Gauss eliminasyon yöntemi 4×4
Gauss Jordan Yöntemi
Gauss Jordan Yöntemi örnek Soru

Uygulama

MATLAB, Gauss eliminasyonunu göstermek için yararlı olan bir dizi içsel prosedüre sahiptir. Bunlara lu, env, A\d ve diğerleri dahildir. Ax = (LU)x = L(Ux) = d olduğundan Ax = d’yi çözmek için A’nın LU çarpanlarına ayırma kullanılabilir. Bu nedenle, önce Ly = d’yi ve ikinci olarak Ux = y’yi çözün. Hem L hem de U biliniyorsa, çözme adımları kolay alt ve üst üçgen çözümlerdir.

Bu hesaplamalar için bilgisayar kodları üzerinde onlarca yıldır çalışılmaktadır. Bu kodların çoğu, netlib’deki belirli bilgisayarlar için saklanır, güncellenir ve optimize edilir. Örneğin, LU çarpanlarına ayırma ve üst üçgensel çözümler, LAPACK alt rutinleri sgetrf() ve sgetrs() ve ayrıca sgesv() tarafından yapılabilir, kullanım kılavuzuna bakın.

Sonraki MATLAB kodu, heatgelm.m, bir dizi farklı n değeri için 1B kararlı hal ısı difüzyonu problemini çözer. Sayısal çözümlerin u(ih)’e yakınsadığına dikkat edin, burada u(x) sürekli model ve h adım boyutudur. 1-5 satırları modelin temel verilerini girer ve 6-16 satırları sağ tarafı, d’yi ve katsayı matrisi A’yı tanımlar. Satır 17, d’yi bir sütun vektörüne dönüştürür ve yazdırır ve 18. satır matrisi yazdırır . Çözüm 19. satırda hesaplanır ve yazdırılır.

Değerlendirme

Isı iletimi için yukarıdaki model, h göz boyutuna bağlıdır, ancak ağ boyutu h sıfıra gittiğinde hesaplanan çözümlerde çok az fark olacaktır. Örneğin, MATLAB çıktısında, sıcaklığın i bileşeni, h = 1/(n+1) olduğunda ih’deki yaklaşık sıcaklıktır.

Telin merkezindeki yaklaşık sıcaklıklar n = 3 için 106.6942, n = 7 için 102.6334 ve n = 15 için 101.6473’tür. Sürekli model u(0) = 0 ile −(.001ux)x = sin(πx)’dir. = u(1) ve çözüm u(x) = (1000/π2)sin(πx)’dir. Böylece, n arttıkça sayısal çözümlere yaklaşılan u(1/2) = 1000/π2 = 101.3212. Bunun bir analizi yapılacaktır. Ters matrislerin dört temel özelliğinin bazı gerekçelere ihtiyacı vardır.

Egzersizler

1. Aşağıdaki cebirsel sistemi göz önünde bulundurun.
a). Arttırılmış matrisi bulun.
(b). Satır işlemleri ve temel matrislerle yapılan el hesaplamaları ile E’yi bulur, böylece EA = U üst üçgen olur.
(c). Çözümü bulmak için bunu kullanın ve MATLAB kullanarak hesaplamalarınızı doğrulayın.
2. MATLAB kodu heatgelm.m’yi kullanın ve ısı iletimi probleminde n = 11, 21 ve 41’i kullanarak ağ boyutlarıyla deney yapın ve ağ sıfıra giderken hesaplanan çözümün yakınsadığını doğrulayın, yani, ui – h sıfıra giderken u(ih) sıfıra gider
3. Teorem 2.2.1’in 3. özelliğini ispatlayın.
4. Teorem 2.2.1’in 4. özelliğini ispatlayın.
5. Eğer A−1 varsa, Ax = d çözümünün tek olduğunu kanıtlayın.

Soğutma Fin ve Üçgen Matrisler

İnce tel probleminde, diferansiyel denklemin sonlu fark yaklaşımından oluşturulan üç köşeli bir matris elde ettik. Benzer üç köşeli matrisler veya üç köşeli matris bloklarına sahip daha karmaşık matrisler elde etmek çok yaygındır. Bunu bir soğutma kanadı için bir dizi modelle göstereceğiz.

Bu bölüm, üç köşeli cebirsel sistemlerin çözümü için Gauss eleme algoritmasının çok verimli bir versiyonu ile ilgilidir. n bilinmeyen için Gauss eleme algoritmasının tam versiyonu, n3/3 sıralı işlemleri ve n2 sıralı depolama konumlarını gerektirir. Sıfırların sayısından ve konumlarından yararlanarak, üç köşegen sistemler için Gauss eliminasyon algoritması, 5n işlem sırasına ve 8n depolama yeri siparişine indirgenebilir!

The post Gauss Eliminasyon – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri first appeared on Akademi Delisi (Tez Yaptırma).