Model Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Yaklaşımı

Bu ilk bölüm, zamana bağlı kısmi diferansiyel denklemlerin (PDE’ler) temel ayrıklaştırma tekniklerine hızlı bir giriş olarak tasarlanmıştır. Okuyucunun, sonraki bölümlerin karmaşık problemlerini ele almadan önce, aşağıdaki model PDE’lerin matematiksel ve fiziksel özelliklerini biraz anlamasının önemli olduğunu düşünüyoruz: konveksiyon denklemi, dalga denklemi ve ısı denklemi vardır.

Dolayısıyla bu bölüm, model PDE’lerin teorik olarak analiz edildiği ve en basit ayrıklaştırma yöntemleri kullanılarak sayısal olarak çözüldüğü birkaç kısa alıştırmanın bir koleksiyonu olarak düzenlenmiştir. Sayısal yöntemlerin temel özellikleri, doğruluk, kararlılık, yakınsama ve sayısal dağılım gibi temel fikirlere vurgu yapılarak sunulmaktadır. Bu basit durumlar için mevcut kesin çözümlerle karşılaştırılarak sayısal prosedürlerin doğrulanmasına özel önem verilir.

Adi Diferansiyel Denklemler İçin Ayrık İntegral Yöntemleri

Genellikle bir kısmi diferansiyel denklemi (PDE), birkaç değişkenli bir fonksiyon ile onun kısmi türevleri arasındaki bir ilişki olarak tanımlarız.

Bu bölümde, tek bir bağımsız değişkene (burada zaman değişkenine) bağlı olan ve sayısal entegrasyonları için ayrık yöntemler sunan en basit adi diferansiyel denklemleri (ODE) ele alıyoruz. Bu yöntemler (veya sayısal şemalar), hem zaman hem de uzay değişkenlerine bağlı olarak PDE’leri tartıştığımızda aşağıdaki bölümlerde faydalı olacaktır. Aşağıdaki problemi ele alalım: ODE’nin bir çözümü olan türevlenebilir bir fonksiyon bulun u : [0,T] → Rm.

(1.1)-(1.2) probleminin çözümünün varlığı ve tekliği üzerine teorik sonuçlar 1824’te Cauchy’ye kadar gider. Probleme daha matematiksel bir yaklaşımla ilgilenen okuyucu, ODE’ler üzerine mevcut birçok kitaba başvurmak isteyecektir ( örneğin, bu bölümün sonundaki referanslara bakın). Burada daha pratik bir bakış açısı benimsiyoruz ve skaler durumda veya tek boyutlu durumda, m = 1 çözümün yaklaşımlarını hesaplamak için doğrudan basit sayısal yöntemler sunarak başlıyoruz.

Bilgisayar yalnızca sonlu sayıda ayrık değerlerle ilgilenebildiğinden, Cauchy problemini (1.1)–(1.2) çözmek için sayısal algoritma t0, t1 noktalarını ayarlayarak başlar. . . , tN çözümün hesaplanacağı değer. tn,n = 0,…,N noktaları, I = [0,T] aralığının ayrıklaştırılmasını (veya bir ızgarayı) tanımlar.

Izgara noktalarının eşit veya düzenli dağılımı en basitidir ve bu bölümde kullanılacaktır. tn = nh, h = T/N ile sabit ayrıklaştırma adımını (veya t bir zaman değişkeni olarak kabul edilirse zaman adımını) belirledik (bkz. Şekil 1.1) ve alt aralıkları tanımladık In = [tn, tn+1], n = 0, . . . , N − 1 (t0 = 0 ve tN = T olduğuna dikkat edin).

Cauchy probleminin sayısal yaklaşımı (N’ye bağlı olarak) u(N), bir dizi sayı oluşturmaktan ibarettir.  Aynı hesaplama noktalarında u(t) tam çözümünün u(t0),…,u(tN) değerlerine yaklaşık 0N yaklaşan u(N). İlk 00 değer koşulunu u(t0) = u0 sağlamak için her zaman u(N) = u ile başlarız. Gösterimi basitleştirmek için, (N) mümkün olduğunda, un by un’a atıfta bulunacağız.

Sayısal Entegrasyon Şemalarının Oluşturulması

I tanım aralığını ayrıklaştırdıktan sonra, n = 1 için un değerlerini hesaplamak için bir formül bulmalıyız. . . , N . Genellikle sayısal şema olarak adlandırılan böyle bir formül, ODE’de diferansiyel operatörün ayrıklaştırılmasıyla elde edilir. Burada ODE (1.1) için sayısal şemalar oluşturmak için kullanılabilecek iki tür yöntem sunuyoruz. Herhangi bir entegrasyon şemasının, başlangıç ​​koşulunun dayattığı u0 değerinden başlayacağını unutmayın.

Sayısal Düzenin Kararlılığı

Burada f = 0 ve α ∈ R+ için absorpsiyon denklemini ele alıyoruz. O halde kesin çözüm, limt→+∞ u(t) = 0 özelliğiyle u(t) = e−αtu0 olur. Bu çözümü açık Euler şemasını (1.11) kullanarak hesaplamak istediğimizi varsayalım. un = (1 − αh)nu0 değerlerinden oluşan bir dizi elde ederiz. bunu görmek kolay

• h > 2/α ise, o zaman 1 − αh ≤ -1 ve (un) dizisi 
• if0<h<2/α, o zaman|1−αh|<1 t → ∞, kesin çözümün davranışını yeniden üretir.

Bu noktada merakla itilen okuyucunun Alıştırma 1.1’in 5. sorusunu zaten yanıtladığını varsayalım. Yukarıdaki analiz, h = 1/2 ve α = 4 ayrıklaştırma adımı için elde edilen sayısal çözümün garip davranışını açıklar (çözüm alternatif olarak +1 ve -1 değerlerini alır).

Bilimsel HESAPLAMA ders notu
Bilimsel HESAPLAMA dersi
METU FM
Bilimsel Hesap Makinesi

Bu gözlemin arkasındaki asıl soru, sayısal şemanın doğru çözümü verdiğinden nasıl emin olunacağıdır. Cevabın bir kısmı şemanın doğruluğu ile ilgilidir: eğer şema tutarlıysa, ayrık şemanın h → 0 olduğunda kaybolan yerel (belirli bir zamanda) hatalar işlediğini biliyoruz.

Maalesef örneğimizden de anlaşılacağı gibi tutarlılık kesin çözüme yakınsamayı sağlamak için yeterli değildir. Başarılı bir sayısal hesaplama için sayısal şemanın kararlılığı da gereklidir. Sezgisel olarak, hesaplama sırasında ortaya çıkan hataları büyütmezse sayısal bir şemanın kararlı olacağını söyleyebiliriz.

Temel kararlılık kavramı, matematiksel olarak çeşitli şekillerde ele alınabilir. Kararlılığın yaygın olarak kullanılan tanımı (sıfır kararlılık veya PDE’ler için Lax-Richtmyer kararlılığı olarak da bilinir), sabit bir entegrasyon aralığı [0,T] için h → 0 olduğunda hesaplanan değerlerin sınırlı kalmasını gerektirir.

Bu önemli bir kavramdır, çünkü iyi bilinen denklik teoreminden (ODE’ler için Dahlquist ve PDE’ler için Lax ve Richtmyer’den dolayı) belirtildiği gibi, sıfır kararlılık, tutarlı bir şemanın yakınsak olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

Bazı pratik uygulamalarda, sıfır kararlılığın uygulanabilmesi için h’yi yeterince küçük almak her zaman mümkün değildir. Bu, farklı değişen zaman ölçeklerini içeren katı ODE’lerin durumudur. Bu tür ODE’ler için, genellikle, zaman adımı h sabit tutulduğunda ve t → ∞ olduğunda sayısal şemanın davranışını dikkate alan mutlak kararlılık kavramını kullanırız.

Aşağıda absorpsiyon denklemi (u (t) = −αu) örneği ile mutlak kararlılık kavramını gösteriyoruz.1 Tablo 1.1’de tek adımlı şemaların en basit durumunu ele alıyoruz. Bu sayısal şemaları genel forma dönüştürebiliriz.

Kararlılık için yeterli koşul şimdi |G(−αh)| < 1. Bu kararlılık koşulu, t → ∞ olduğu için sayısal çözümün tam çözümle aynı davranışa sahip olmasını sağlar. Örneğin, açık Euler şemasının kararlılık bölgesi S, (−1,0) noktasında ortalanmış yarıçap 1’in açık diskidir. Bu nedenle, h ayrıklaştırma adımı |1 − αh| olacak şekilde seçilirse şema kesinlikle kararlı olacaktır. < 1.

The post Bilimsel Hesaplamaya Giriş – MATLAB Ödevi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Fiyatları – MATLAB Örnekleri – Ücretli MATLAB Analizi Yaptırma – MATLAB Analizi Yaptırma Ücretleri first appeared on Akademi Delisi (Tez Yaptırma).